"Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤 문제 (완전제곱수의 역수들의 합)"의 두 판 사이의 차이

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* 사인함수를 활용
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<h5>오일러-맥클로린 공식을 활용한 오일러의 수치계산</h5>
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* [[오일러-맥클로린 공식]] 을 활용하여, 위의 값을 확인해보자.
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<math>\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R</math> 
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<math>f(x)=\frac{1}{x^2}</math>에 대해 적용함.
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<math>\int f(x)\,dx=-\frac{1}{x}</math>, <math>f(x)=\frac{1}{x^2}</math>, <math>f'(x)=-\frac{2}{x^3}</math>, <math>f^{(2)}(x)=\frac{6}{x^4}</math>, <math>f^{(3)}(x)=-\frac{24}{x^5}</math>, <math>f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{k!}{x^{k+1}}</math>
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<math>\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}B_k(\frac{1}{n^{k+1}}-1)  </math>
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<math>\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2} = -(\frac{1}{n}-1) -\frac{1}{2}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{6}(\frac{1}{n^3}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^5}-1)-\frac{1}{42}(\frac{1}{n^7}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^9}-1) \cdots</math>
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여기서 오일러는 다음식이 참이라고 가정(사실은 발산함)
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<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{30}+\frac{1}{42}-\frac{1}{30}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}</math>
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그 다음, <math>n=10</math> 인 경우에 다음식을 계산하여, 값을 비교함.
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<math>\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2}+\frac{1}{n}+ \frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}-\frac{1}{30n^5}+\frac{1}{42n^7}-\frac{1}{30n^9}</math>
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<math>1.6449340668474930714\cdots=1.5397677311665406904\cdots + 0.10516633568095238095\cdots</math>
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<math>\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots</math>
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* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
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* [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
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*  도서내검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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*  도서검색<br>
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://viswiki.com/en/
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* http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
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* http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
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* 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
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<h5>관련기사</h5>
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
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<h5>동영상</h5>
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2009년 5월 1일 (금) 16:27 판

간단한 소개

 

\(\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\)

\(\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots\)

 

오일러의 방법
  • 사인함수를 활용

 

오일러-맥클로린 공식을 활용한 오일러의 수치계산

\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\) 

\(f(x)=\frac{1}{x^2}\)에 대해 적용함.

 

\(\int f(x)\,dx=-\frac{1}{x}\), \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), \(f'(x)=-\frac{2}{x^3}\), \(f^{(2)}(x)=\frac{6}{x^4}\), \(f^{(3)}(x)=-\frac{24}{x^5}\), \(f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{k!}{x^{k+1}}\)

\(\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}B_k(\frac{1}{n^{k+1}}-1) \)

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2} = -(\frac{1}{n}-1) -\frac{1}{2}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{6}(\frac{1}{n^3}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^5}-1)-\frac{1}{42}(\frac{1}{n^7}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^9}-1) \cdots\)

여기서 오일러는 다음식이 참이라고 가정(사실은 발산함)

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{30}+\frac{1}{42}-\frac{1}{30}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\)

그 다음, \(n=10\) 인 경우에 다음식을 계산하여, 값을 비교함.

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2}+\frac{1}{n}+ \frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}-\frac{1}{30n^5}+\frac{1}{42n^7}-\frac{1}{30n^9}\)

\(1.6449340668474930714\cdots=1.5397677311665406904\cdots + 0.10516633568095238095\cdots\)

\(\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots\)

 

 

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