"Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤 문제 (완전제곱수의 역수들의 합)"의 두 판 사이의 차이

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<h5>간단한 소개</h5>
 
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* 제타 함수의 값을 구하는 것은 수학적으로 흥미로운 문제
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* 다음은 오일러가 처음으로 계산해 내어 매우 유명한 결과로 수학의 아름다운 정리 중 하나로 꼽힌다.
  
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<math>\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math>
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* [[오일러-맥클로린 공식]] 을 활용하여, 위의 값을 확인해보자.
 
* [[오일러-맥클로린 공식]] 을 활용하여, 위의 값을 확인해보자.
  
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<math>\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R</math> 
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<math>\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R</math>
  
 
<math>f(x)=\frac{1}{x^2}</math>에 대해 적용함.
 
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<math>\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2} = -(\frac{1}{n}-1) -\frac{1}{2}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{6}(\frac{1}{n^3}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^5}-1)-\frac{1}{42}(\frac{1}{n^7}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^9}-1) \cdots</math>
 
<math>\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2} = -(\frac{1}{n}-1) -\frac{1}{2}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{6}(\frac{1}{n^3}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^5}-1)-\frac{1}{42}(\frac{1}{n^7}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^9}-1) \cdots</math>
  
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여기서 오일러는 다음식이 참이라고 가정(사실은 발산함)
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여기서 오일러는 <math>n\to\infty</math> 일때 다음식이 참이라고 가정(사실은 발산함)
  
 
<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{30}+\frac{1}{42}-\frac{1}{30}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}</math>
 
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러]
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* http://viswiki.com/en/
 
* http://viswiki.com/en/

2009년 7월 9일 (목) 03:04 판

간단한 소개
  • 제타 함수의 값을 구하는 것은 수학적으로 흥미로운 문제
  • 다음은 오일러가 처음으로 계산해 내어 매우 유명한 결과로 수학의 아름다운 정리 중 하나로 꼽힌다.

\(\zeta(2)=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\)

\(\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots\)

 

오일러의 방법
  • 사인함수를 활용

 

오일러-맥클로린 공식을 활용한 오일러의 수치계산

\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)

\(f(x)=\frac{1}{x^2}\)에 대해 적용함.

 

\(\int f(x)\,dx=-\frac{1}{x}\), \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), \(f'(x)=-\frac{2}{x^3}\), \(f^{(2)}(x)=\frac{6}{x^4}\), \(f^{(3)}(x)=-\frac{24}{x^5}\), \(f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{k!}{x^{k+1}}\)

\(\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}B_k(\frac{1}{n^{k+1}}-1) \)

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2} = -(\frac{1}{n}-1) -\frac{1}{2}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{6}(\frac{1}{n^3}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^5}-1)-\frac{1}{42}(\frac{1}{n^7}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^9}-1) \cdots\)

여기서 오일러는 \(n\to\infty\) 일때 다음식이 참이라고 가정(사실은 발산함)

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{30}+\frac{1}{42}-\frac{1}{30}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\)

그 다음, \(n=10\) 인 경우에 다음식을 계산하여, 값을 비교함.

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2}+\frac{1}{n}+ \frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}-\frac{1}{30n^5}+\frac{1}{42n^7}-\frac{1}{30n^9}\)

\(1.6449340668474930714\cdots=1.5397677311665406904\cdots + 0.10516633568095238095\cdots\)

\(\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots\)

 

 

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