Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤 문제 (완전제곱수의 역수들의 합)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 5월 1일 (금) 16:27 판
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간단한 소개

 

\(\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\)

\(\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots\)

 

오일러의 방법
  • 사인함수를 활용

 

오일러-맥클로린 공식을 활용한 오일러의 수치계산

\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\) 

\(f(x)=\frac{1}{x^2}\)에 대해 적용함.

 

\(\int f(x)\,dx=-\frac{1}{x}\), \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), \(f'(x)=-\frac{2}{x^3}\), \(f^{(2)}(x)=\frac{6}{x^4}\), \(f^{(3)}(x)=-\frac{24}{x^5}\), \(f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{k!}{x^{k+1}}\)

\(\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}B_k(\frac{1}{n^{k+1}}-1) \)

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2} = -(\frac{1}{n}-1) -\frac{1}{2}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{6}(\frac{1}{n^3}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^5}-1)-\frac{1}{42}(\frac{1}{n^7}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^9}-1) \cdots\)

여기서 오일러는 다음식이 참이라고 가정(사실은 발산함)

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{30}+\frac{1}{42}-\frac{1}{30}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\)

그 다음, \(n=10\) 인 경우에 다음식을 계산하여, 값을 비교함.

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2}+\frac{1}{n}+ \frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}-\frac{1}{30n^5}+\frac{1}{42n^7}-\frac{1}{30n^9}\)

\(1.6449340668474930714\cdots=1.5397677311665406904\cdots + 0.10516633568095238095\cdots\)

\(\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots\)

 

 

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