거듭제곱의 합을 구하는 공식

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• 거듭제곱의 합을 구하는 공식

 

 

개요

• 1부터 n까지의 k-거듭제곱의 합을 구하는 공식.
• 베르누이 수를 사용하여 표현가능함

 

 

간단한 예

\(1 + 2 + 3 + \cdots + n = {n(n+1) \over 2} = {n^2 + n \over 2}\)

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = {n(n+1)(2n+1) \over 6} = {2n^3 + 3n^2 + n \over 6}\)

\(1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left({n^2 + n \over 2}\right)^2 = {n^4 + 2n^3 + n^2 \over 4}\)

\(1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = {6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n \over 30}\)

\(1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 = {2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2 \over 12}\)

\(1^6 + 2^6 + 3^6 + \cdots + n^6 = {6n^7 + 21n^6 + 21n^5 -7n^3 + n \over 42}\)

 

 

베르누이 수

• 베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.
  \(\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\)
  
• 처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.
  \(B_0=1\), \(B_1=-{1 \over 2}\), \(B_2={1\over 6}\), \(B_3=0\), \(B_4=-\frac{1}{30}\), \(B_5=0\), \(B_6=\frac{1}{42}\), \(B_8=-\frac{1}{30}\), \(B_{10}=\frac{5}{66}\), \(B_{12}=-\frac{691}{2730}\),\(B_{14}=\frac{7}{6}\)
  

 

 

베르누이 다항식

베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의된다.

\(\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\)

 

좀더 자세히 쓰면

\(B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}\)

여기서 \(B_k\) 는 베르누이 수

 

처음 몇 베르누이 다항식은 다음과 같다.

 

\(B_0(x)=1\)

\(B_1(x)=x-1/2\)

\(B_2(x)=x^2-x+1/6\)

\(B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\\)

\(B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\)

\(B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\)

\(B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}\)

 

 

계차수열

\(\Delta B_n(x)=nx^{n-1}\)

 

 

거듭제곱의 합

Calculus of Finite differences 의 정리에 의하면, \(\Delta F=f\) 인 두 수열에 대하여

\(\sum_a^{b-1}f(n)=F(b)-F(a)\)

이 성립한다.

 

이를 베르누이 다항식에 적용하면,

 

\(\sum_0^{n-1}k^r=\frac{1}{r+1}(B_{r+1}(n)-B_{r+1}(0))\)

 

 

 

 

 

 

 

관련된 항목들

• Calculus of Finite differences
• 오일러-맥클로린 공식
• 베르누이 수와 베르누이 다항식
• 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
• Umbral calculus

 

 

 

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula

 

 

관련논문

• Using the Finite Difference Calculus to Sum Powers of Integers
  
  • Lee Zia
  • The College Mathematics Journal, Vol. 22, No. 4 (Sep., 1991), pp. 294-300

• Euler's formula nth Differences of Powers
  
  • H. W. Gould
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 85, No. 6 (Jun. - Jul., 1978), pp. 450-467
• Bernoulli's Identity without Calculus
  
  • Kenneth S. Williams
  • Mathematics Magazine, Vol. 70, No. 1 (Feb., 1997), pp. 47-50
• The Umbral Method: A Survey of Elementary Mnemonic and Manipulative Uses
  
  • Andrew P. Guinand
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 3 (Mar., 1979), pp. 187-195
• A Symmetry of Power Sum Polynomials and Bernoulli Numbers
  
  • Hans J. H. Tuenter
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 3 (Mar., 2001), pp. 258-261