거듭제곱의 합을 구하는 공식

개요

\(1 + 2 + 3 + \cdots + n = {n(n+1) \over 2} = {n^2 + n \over 2}\)

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = {n(n+1)(2n+1) \over 6} = {2n^3 + 3n^2 + n \over 6}\)

\(1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left({n^2 + n \over 2}\right)^2 = {n^4 + 2n^3 + n^2 \over 4}\)

\(1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = {6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n \over 30}\)

\(1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 = {2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2 \over 12}\)

\(1^6 + 2^6 + 3^6 + \cdots + n^6 = {6n^7 + 21n^6 + 21n^5 -7n^3 + n \over 42}\)

베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.
\(\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}\)
처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.
\(B_0=1\), \(B_1=-{1 \over 2}\), \(B_2={1\over 6}\), \(B_3=0\), \(B_4=-\frac{1}{30}\), \(B_5=0\), \(B_6=\frac{1}{42}\), \(B_8=-\frac{1}{30}\), \(B_{10}=\frac{5}{66}\), \(B_{12}=-\frac{691}{2730}\),\(B_{14}=\frac{7}{6}\)

베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의된다 \[\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\]

좀더 자세히 쓰면 \[B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}\] 여기서 \(B_k\) 는 베르누이 수

처음 몇 베르누이 다항식은 다음과 같다.

\[B_0(x)=1\]

\[B_1(x)=x-1/2\]

\[B_2(x)=x^2-x+1/6\]

\[B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\]

\[B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\]

\[B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\]

\[B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}\]

\[\left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\]

차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)의 정리에 의하면, \(\Delta F=f\) 인 두 수열에 대하여 \[\sum_a^{b-1}f(n)=F(b)-F(a)\]

이 성립한다.

이를 베르누이 다항식에 적용하면, \[\sum_0^{n-1}k^r=\frac{1}{r+1}(B_{r+1}(n)-B_{r+1}(0))\] 을 얻는다.