"고전역학에서의 적분가능 모형"의 두 판 사이의 차이
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* 운동량 변수 <math>p=(p_ 1,\cdots,p_N)</math> | * 운동량 변수 <math>p=(p_ 1,\cdots,p_N)</math> | ||
* 운동방정식 | * 운동방정식 | ||
| − | + | $$ | |
| − | \dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}\\ | + | \left\{ |
| − | \dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i} | + | \begin{array}{c} |
| − | + | \begin{aligned} | |
| − | * | + | \dot{q}_i&=\frac{\partial H}{\partial p_i} \\ |
| − | * | + | \dot{p}_i&=-\frac{\partial H}{\partial q_i} |
| − | + | \end{aligned} | |
| − | :<math>\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]</math> | + | \end{array} \right. |
| + | $$ | ||
| + | ===보존량과 포아송 괄호=== | ||
| + | * 적분가능계가 되기 위해서는 $N$개의 독립인 보존량(또는 제1적분) <math>L_ 1(x),\cdots,L_N(x)</math>이 필요하다 | ||
| + | * 두 함수 <math>f(p_i,q_i,t), g(p_i,q_i,t)</math>에 대한 포아송 괄호를 다음과 같이 정의 | ||
| + | :<math>\{f,g\} : = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]</math> | ||
* $L$과 $H$의 포아송 괄호 | * $L$과 $H$의 포아송 괄호 | ||
:<math> | :<math> | ||
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| − | + | ===작용-각(action-angle) 변수=== | |
| − | * | + | * 작용 변수 <math>I(p,q)</math>, 각 변수 <math>\theta(p,q)</math>를 도입하여, 해밀토니안을 새로운 변수들의 함수로 고려 <math>H(I,\theta)</math> |
| − | * | + | * 다음 조건을 만족시켜야 한다 |
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| + | \left\{ | ||
\begin{array}{c} | \begin{array}{c} | ||
| + | \begin{aligned} | ||
\dot{\theta}=\partial H/\partial I=\omega \\ | \dot{\theta}=\partial H/\partial I=\omega \\ | ||
\partial H/\partial \theta=0 | \partial H/\partial \theta=0 | ||
| − | \end{array} | + | \end{aligned} |
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2014년 10월 17일 (금) 01:54 판
적분가능 모형
- 고전/양자 역학에서의 적분가능 모형은 교환법칙을 만족시키는 적분들 또는 보존량의 존재를 특징으로 함
- 자유도가 N으로 주어진 계
- 해밀토니안 \(H(q,p)\)
- 위치 변수 \(q=(q_ 1,\cdots,q_N)\)
- 운동량 변수 \(p=(p_ 1,\cdots,p_N)\)
- 운동방정식
$$ \left\{ \begin{array}{c} \begin{aligned} \dot{q}_i&=\frac{\partial H}{\partial p_i} \\ \dot{p}_i&=-\frac{\partial H}{\partial q_i} \end{aligned} \end{array} \right. $$
보존량과 포아송 괄호
- 적분가능계가 되기 위해서는 $N$개의 독립인 보존량(또는 제1적분) \(L_ 1(x),\cdots,L_N(x)\)이 필요하다
- 두 함수 \(f(p_i,q_i,t), g(p_i,q_i,t)\)에 대한 포아송 괄호를 다음과 같이 정의
\[\{f,g\} : = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]\]
- $L$과 $H$의 포아송 괄호
\[ \begin{aligned} \{L,H\}&=\sum_{i=1}^N \left[\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial L}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right]\\ &=\sum_{i=1}^N \left[\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial p_{i}} \dot{p}_i \right] \\ &=\frac{\partial L}{\partial t} \end{aligned} \]
- 보존량들은 다음의 포아송 괄호 관계를 만족시켜야 한다
$$ \begin{array}{c} \{L_i,H\}=0 \\ \{L_i,L_j\}=0 \end{array} $$
작용-각(action-angle) 변수
- 작용 변수 \(I(p,q)\), 각 변수 \(\theta(p,q)\)를 도입하여, 해밀토니안을 새로운 변수들의 함수로 고려 \(H(I,\theta)\)
- 다음 조건을 만족시켜야 한다
$$ \left\{ \begin{array}{c} \begin{aligned} \dot{\theta}=\partial H/\partial I=\omega \\ \partial H/\partial \theta=0 \end{aligned} \end{array} \right. $$
자유낙하하는 물체
- 해밀토니안\[H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+mgq\] g는 중력가속도. m은 입자의 질량
- 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-mg\]
- 운동방정식\[\ddot{q}=-g\]
- 보존량\(E=L_ 1(q,p)=H(q,p)\)은 에너지
\[\dot{E}=\frac{p\dot{p}}{m}+mg\dot{q}=\frac{p(-mg)}{m}+mg\frac{p}{m}=0\]
단순조화진동자(simple harmonic oscillator)
- http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A1%B0%ED%99%94%EC%A7%84%EB%8F%99%EC%\9E%90
- 질량 m, 각속도 \(\omega\) 인 조화진동자
- 해밀토니안\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2\]
- 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]
- 운동방정식\[\ddot{q}=-\omega^{2} q\] 즉 \(\ddot{q}+\omega^{2} q=0\)
- 보존량 \(L_ 1(q,p)=H(q,p)\)
- action-angle 변수 http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Action-Angle_Variables action 변수 \(I\), \(H=\omega I\) 따라서 \(\partial H/\partial I=\omega\) angle 변수 \({\theta}\), \(\dot{\theta}=\omega\) 따라서 \(\theta = \omega t+\theta_0\)
단진자
- 해밀토니안\[H(p_{\theta},\theta)=\frac{p_ {\theta}^2}{2ml^2}-mgl\cos\theta\]
- 해밀턴 방정식\[\dot{\theta}=\partial H/\partial p_{\theta}=\frac{p_{\theta}}{ml^2}\]\[\dot{p_{\theta}}=-\partial H/\partial \theta=mgl\sin\theta\]
- 운동방정식\[\frac{d^2 \theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin\theta=0\]
- 보존량\[\frac{H(p_{\theta},\theta)}{ml^2}\]
- action-angle 변수 http://www.maths.uq.edu.au/courses/MATH4104/m4104sec4.pdf
- http://www.fas.org/sgp/othergov/doe/lanl/pubs/00285896.pdf
the an-harmonic oscillator in 2 dim
이체 문제 (two-body problem)
geodesic motion on an ellipsoid
헤논-헤일스 방정식 (Hénon-Heiles Equation)
링크
- http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange,_Euler _and _Kovalevskaya _tops
- Mircea PUTA and Constantin VOICU, Old and New Aspects in the Lagrange Top Dynamics http://www.esi.ac.at/preprints/esi1363.ps
- A. Lesfari, "Completely integrable systems: Jacobi's heritage," Journal of Geometry and Physics 31, no. 4 (October 1999): 265-286. http://dx.doi.org/10.1016/S0393-0440(99)00015-7
메모
- 이체 문제 (케플러 문제, 쿨롱 문제)
- 단진자
- the double pendulum
- the free rigid body
- the rigid body with a fixed point(= tops - Euler top, Lagrange top,Kovaleskaya top)
- the harmonic oscillator
- the an-harmonic oscillator in 2 dim
- the motion of a particle in a central potential
- the motion on a sphere with a harmonic potential
- the geodesic motion on an ellipsoid (Jacobi's geodesic flow on an ellipsoid)
- the geodesic motion on a surface of revolution
- the geodesic motion on a torus
- the geodesic motion on a quartic
- the geodesic motion on SO(3)
- the Moser system
- the Calogero-Sutherland systems
- the Calogero-Moser systems
- the Toda lattices (periodic, non-periodic, non-abelian)
- the Clebsh rigid body in an ideal fluid,
- the n-dimensional rigid body
- the Garnier system
- the Gaudin systems
- KdV equation