교대다항식(alternating polynomial)

개요

다항식 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 이 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 중에서 두 변수를 바꾸는 permutation 즉 transpotision 에 의해 부호가 바뀔 때, 이를 교대다항식이라 한다
반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix) 에서 나타나는 반데몬드 다항식과 대칭다항식의 곱으로 표현된다

반데몬드 행렬\[\left( \begin{array}{ccc} x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)\]
5의 분할 {3, 1, 1} 에 대하여 반데몬드 행렬로부터 다음과 같은 행렬을 만들면, 행렬식은 교대다항식이 된다\[\left( \begin{array}{ccc} x_1^5 & x_2^5 & x_3^5 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right)\]
일반적으로 parts가 3인 분할 \(\lambda : \lambda_{1}\geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3}\geq 0\)에 대하여, 다음과 같은 3×3 행렬을 정의할 수 있다\[\left( \begin{array}{ccc} x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\ x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \\ x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)\]
일반적으로 분할 \(\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0\) 에 대하여도 같은 방식으로 행렬 \(\left(x_j^{\lambda _i+n-i}\right)_{1\le i,j\le n}\)을 정의할 수 있고, 그 행렬식으로부터 교대다항식을 얻는다

\(f(a,b,c)=a^5(b-c)+b^5(c-a)+c^5(a-b)\)의 인수분해
- 이 문제는 '알파테크닉 난제수학'이라는 고교생용 수학참고서(일본 본고사 유형의 문제들)에 있던 것이다
교대식이므로, \(V(a,b,c)=(a-b)(b-c)(c-a)\) 를 인수로 갖는다
\(f/V\) 는 3차의 동차 대칭다항식이므로, 적당한 상수 A,B,C 에 대하여 \(f/V = A(a+b+c)^3+B(a b+b c+c a)(a +b+ c)+C a b c\) 꼴로 쓰여진다
\(A=-1,B=2,C=-1\) 이다
\(-f/V=a^3 + a^2 b + a b^2 + b^3 + a^2 c + a b c + b^2 c + a c^2 + b c^2 + c^3\)는 완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)의 예이며 \(h_3(a,b,c)\)로 표현된다
- \(a^3 + a^2 b + a b^2 + b^3 + a^2 c + a b c + b^2 c + a c^2 + b c^2 + c^3\) 가 기약인지에 대해서는 Is complete homogeneous symmetric polynomials, an irreducibile element in Polynomial ring?
\(f(a,b,c)\)와 \(-V(a,b,c)\)는 다음과 같은 행렬식으로 표현된다

\[ f(a,b,c)= \begin{vmatrix} a^5 & b^5 & c^5 \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]

\[ -V(a,b,c)= \begin{vmatrix} a^2 & b^2 & c^2 \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]