그라스만 다양체

수학노트
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개요

  • Gr_{nk} = k-plane in n-space
  • 실 그라스만 다양체\[Gr_{kn}(\mathbb{R}) = \{V\subset \mathbb{R}^n | \dim V = k\}\]
  • rank가 k인 k x n 행렬로 그라스만 다양체의 한 점을 표현할 수 있다



Plücker embedding

  • 그라스만 다양체를 사영공간으로 embedding
  • \(Gr_{kn}(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^{N-1}\) 여기서 \(N=\binom{n}{k}\).
  • Plücker 좌표 \(\Delta_{I}(A)\) = determinant of submatrix of A with column set I



Gr(2,4) 의 예

  • 4차원 다양체
  • 다양체 위의 한점은 다음과 같은 형태의 rank가 2인 행렬로 나타낼 수 있다\[\left( \begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} \end{array} \right)\]
  • Plücker embedding \(Gr_{24}(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}^{5}\)
  • Plücker 좌표\[\begin{array}{l} \Delta _{1,2}=a_{1,1} a_{2,2}-a_{1,2} a_{2,1} \\ \Delta _{1,3}=a_{1,1} a_{2,3}-a_{1,3} a_{2,1} \\ \Delta _{1,4}=a_{1,1} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,1} \\ \Delta _{2,3}=a_{1,2} a_{2,3}-a_{1,3} a_{2,2} \\ \Delta _{2,4}=a_{1,2} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,2} \\ \Delta _{3,4}=a_{1,3} a_{2,4}-a_{1,4} a_{2,3} \end{array}\]
  • Plücker 관계식\[\Delta_{1,2}\Delta_{3,4}-\Delta_{1,3}\Delta_{2,4}+\Delta_{1,4}\Delta_{2,3}=0\] 또는 \(\Delta _{1,2}\Delta _{3,4}+\Delta _{1,4}\Delta _{2,3}=\Delta _{1,3}\Delta _{2,4}\)톨레미의 정리



메모



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  • [{'LEMMA': 'Grassmannian'}]
  • [{'LOWER': 'grassmann'}, {'LEMMA': 'manifold'}]
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