극한의 엄밀한 정의 - 엡실론과 델타

수학노트
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개요

예

1

<math>\lim_{x\to 0} x^2=0</math>

(증명)

<math>\epsilon>0</math> 이 주어졌다고 가정하자. <math>\delta=\sqrt{\epsilon}/2</math>라 두자.

<math>0<|x-0|<\delta=\sqrt{\epsilon}/2</math>이면,

<math>|x^2-0|<\epsilon/4<\epsilon</math> 이다.

따라서 <math>\lim_{x\to 0} x^2=0</math>이 성립한다. ■


2

<math>\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1</math>


(증명)

먼저 몇 개의 부등식을 보자.

<math>\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta</math>라 가정하자.

(1) <math>|x-3|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta</math> => <math>|x-3|<\delta</math>

(2) <math>|y-2|\leq \sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}<\delta</math> => <math>|y-2|<\delta</math>

(3) <math>|y-x+1|=|(y-2)-(x-3)|\leq |y-2|+|x-3|<2\delta</math>

(4) <math>|x-3|<\delta</math> 를 <math>|(x-1)-2|<\delta</math>로 다시 쓰면, <math>2-\delta<|x-1|<2+\delta</math>를 얻는다.


<math>\epsilon>0</math> 이 주어졌다고 가정하자. <math>\delta</math>를 <math>\{1,{\epsilon}/2\}</math>의 최소값이라 하자.

위에서 얻는 부등식 (3) 으로부터 <math>|y-x+1|<2\delta\leq \epsilon</math> 이 성립한다.

부등식 (4) 에서 <math>|x-1|>2-\delta\geq 1</math> 이므로, <math>\frac{1}{|x-1|}<1</math>이다.

<math>|\frac{y}{x-1}-1|=|\frac{y-x+1}{x-1}|<|y-x+1|<\epsilon</math>

그러므로,

<math>\lim_{(x,y)\to(3,2)}\frac{y}{x-1}=1</math>이 성립한다. ■


3

<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0</math>


(증명)

<math>\delta=\frac{\epsilon}{2}</math> 로 두자.

<math>|\sqrt{x^2+y^2}|<\delta=\frac{\epsilon}{2}</math> 이면, <math>|\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0|=|x||\frac{y^2}{x^2+y^2}|\leq |x|<\epsilon</math>

<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0</math>이 성립한다. ■



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