"다변수미적분학"의 두 판 사이의 차이

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** curl
 
** curl
 
* 내적과 외적
 
* 내적과 외적
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* 라그랑지 승수 법칙
+
* 라그랑지 승수 법칙(Lagrange multiplier)
 
*  헤세판정법<br>
 
*  헤세판정법<br>
 
** 모스 보조정리 (Morse lemma)
 
** 모스 보조정리 (Morse lemma)
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* <math>\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}</math>
 
* <math>\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}</math>
 
* <math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}</math>
 
* <math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}</math>
−
* 라플라시안 <math>\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f</math>
+
* 라플라시안 <math>\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot (\nabla f)</math>
  
 
 
 
 
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<h5>미분연산자 사이의 관계</h5>
 
<h5>미분연산자 사이의 관계</h5>
  
−
<math>\nabla \times (\nabla f)=0</math>
+
* <math>\nabla \times (\nabla f)=0</math>
 +
* <math>\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{E})=0</math>
 +
* <math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}</math>
  
 
 
 
 
−
 
−
: <math>\mbox{curl}\,(\mbox{grad}\,f ) = \nabla \times (\nabla f) = 0</math>
 
−
: <math>\mbox{div}\,(\mbox{curl}\,\vec v ) = \nabla \cdot \nabla \times \vec{v} = 0</math>
 
−
 
−
Two of them are always equal:
 
−
 
−
: <math> \mbox{div}\,(\mbox{grad}\,f ) = \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f = \Delta f </math>
 
−
 
−
The 3 remaining vector derivatives are related by the equation:
 
−
 
−
: <math>\nabla \times \nabla \times \vec{v} = \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) - \nabla^2 \vec{v}</math>
 
−
 
−
And one of them can even be expressed with the tensor product, if the functions are well-behaved:
 
−
 
−
: <math>\nabla ( \nabla \cdot \vec{v} ) = \nabla \cdot (\nabla \otimes \vec{v})</math>
 
  
 
 
 
 
−
 
−
* <math>\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}</math>
 
  
 
 
 
 

2009년 10월 30일 (금) 16:09 판

간단한 요약
  • 다변수 함수의 미분과 적분을 공부함.
  • 라그랑지 승수 법칙과 헤세판정법을 통해, 함수의 최대최소값 구하는 기술을 배움.
  • '미적분학의 기본정리'의 다변수 확장 버전인 '스토크스 정리' 를 공부함.

 

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

 

다루는 대상
  • 곡선, 곡면, n차원 공간
  • 벡터장

 

중요한 개념 및 정리
  • 편미분
  • 미분연산자
    • grad
    • div
    • curl
  • 내적과 외적
  • 라그랑지 승수 법칙(Lagrange multiplier)
  • 헤세판정법
    • 모스 보조정리 (Morse lemma)
  • 다중적분
  • 좌표변환
    • 자코비안과 행렬식
    • 극좌표계
    • 구면좌표계
    • 원통좌표계
    • 치환적분법
  • 그린 정리, 발산 정리, 스토크스 정리
    • 미분형식으로 표현되는 스토크스 정리의 특별한 경우로 생각할 수 있음.

 

 

미분연산자
  • \(\operatorname{grad}(f) = \nabla f\)
  • \(\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}\)
  • \(\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}\)
  • 라플라시안 \(\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot (\nabla f)\)

 

 

미분연산자 사이의 관계
  • \(\nabla \times (\nabla f)=0\)
  • \(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{E})=0\)
  • \(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}\)

 

 

 

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

 

다른 과목과의 관련성

 

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들
  • 미분형식 (differential forms)
    • 스토크스 정리를 고차원으로 일반화하기 위해서는, 미분다양체와 미분형식의 언어가 필요함
  • 미분다양체론

 

표준적인 교과서

 

 

추천도서 및 보조교재

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문과 에세이
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