실계수 대칭행렬의 대각화

수학노트
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개요


spectral 정리

  • \(n\times n\) 대칭행렬 A에 대하여 다음이 성립한다
    • 행렬 A는 n개(counting multiplicity)의 실수인 고유값을 갖는다
    • 행렬 A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다
    • 행렬 A는 직교대각화 가능하다



실계수 이차형식의 분류

  • \(n\times n\) 대칭행렬 $A$로부터 이차형식 \(Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T}A\mathbf{x}\) 를 얻을 수 있다
  • 실계수 이차형식을 크게 다음과 같이 분류한다
    • 양의 정부호(positive definite) 모든 \(\mathbf{x}\neq 0\)에 대하여 \(Q(\mathbf{x})>0\)가 성립
    • 음의 정부호(negative definite) 모든 \(\mathbf{x}\neq 0\)에 대하여 \(Q(\mathbf{x})<0\)가 성립
    • indefinite \(Q(\mathbf{x})\)가 양수값, 음수값을 모두 가질 수 있는 경우
  • 대칭 겹선형 형식과 이차형식


정리 (실베스터)

크기가 $n$인 대칭행렬 $A$의 양의 고유값, 음의 고유값, 고유값 0의 개수를 각각 $s_{+}(A),s_{-}(A),s_{0}(A)$라 두자. 크기 $n$의 임의의 가역행렬 $S$와 대칭행렬 $B=S^{T}AS$에 대하여 다음이 성립한다 $$ \left(s_{+}(A),s_{-}(A),s_{0}(A)\right)=\left(s_{+}(B),s_{-}(B),s_{0}(B)\right) $$


\(A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right)\) 의 직교대각화

\(P=\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)\) 의 각 열은 A의 고유벡터가 된다. P는 직교행렬, 즉 \(P^T=P^{-1}\) 을 만족시킨다.

\(D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\)



\(A=\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 4 \\ -2 & 6 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{array} \right)\) 의 직교대각화

\(P=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{3 \sqrt{2}} & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{2 \sqrt{2}}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3 \sqrt{2}} & \frac{2}{3} \end{array} \right)\) 의 각 열은 A의 고유벡터가 되며, P는 직교행렬, 즉 \(P^T=P^{-1}\) 을 만족시킨다.

\(D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{ccc} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \right)\)


판별식 함수

  • $b^2-ac$는 이차형식으로, 다음의 대칭행렬에 대응된다

$$ A=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \end{array} \right) $$

\(P=\left( \begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right)\) 의 각 열은 A의 고유벡터가 되며, P는 직교행렬, 즉 \(P^T=P^{-1}\) 을 만족시킨다.

\(D=P^{-1} A P=P^{T} A P =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right)\)


이차형식으로서의 행렬식

  • $2\times 2$ 행렬의 행렬식 $ad-bc$를 이차형식으로 생각할 때, 이는 다음 대칭행렬에 대응된다

$$ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) $$

  • 이를 대각화하면 다음을 얻는다

$$ \left( \begin{array}{cccc} -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right) $$


역사



메모



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