대칭 겹선형 형식과 이차형식

수학노트
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개요


선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들


다루는 대상

  • 이차형식


중요한 개념 및 정리

  • 이차형식의 대각화
  • 등방형식, 비등방형식
  • Witt ring
  • Brauer group
  • local-global principle
  • proper equivalence
  • genus
  • spinor genus

  • 체 위에서의 이차형식은 대각화가 가능
  • 다음의 행렬에 대응되는 유리계수 이차형식을 생각하자

$$ B=\left( \begin{array}{ccc} -2 & 3 & 5 \\ 3 & 1 & -1 \\ 5 & -1 & 4 \end{array} \right) , \quad S=\left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 66 & 0 \\ 0 & 0 & 3201 \end{array} \right) $$

  • 다음이 성립한다

$$ P^{T}BP=S $$ 여기서 $$ P=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 & 17 \\ 0 & 0 & 33 \\ 0 & 2 & -13 \end{array} \right). $$


유명한 정리 혹은 재미있는 문제


역사

  • Herrmann Minkowski (1864 - 1909)
  • Helmut Hasse (1898 - 1979)
  • Carl Ludwig Siegel (1896 - 1982)
  • Ernst Witt (1911 - 1991)
  • Martin Eichler (1912 - 1992)
  • Martin Kneser (1928 - 2004)


다른 과목과의 관련성

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • signature - 대한수학회 수학용어집, 부호(차)수
  • equivalent - 대한수학회 수학용어집, 동치(인), 등가(인)
  • isotropic - 대한수학회 수학용어집, 등방성의


표준적인 교과서

  • Serre, J.-P. 1973. A Course in Arithmetic. Springer.
    • 책의 절반은 유리수체 위에서 정의된 이차형식의 분류와 관련하여 local-global 원리를 증명함
    • 나머지 절반은 정수계수 이차형식에 관한 주제를 다룸.
  • Sphere Packings, Lattices and Groups (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften)
    • John Horton Conway, Neil J. A. Sloane
    • 이 분야의 가장 표준적인 도서


추천도서 및 보조교재


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