정수계수 삼변수 이차형식(ternary integral quadratic forms)

수학노트
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개요

  • $a,b,c$는 서로 소이고, 1이 아닌 제곱수를 약수로 갖지 않는 0이 아닌 정수
  • 이차형식 $ax^2+by^2+cz^2=0$ 가 자명하지 않은 유리수해 $(x,y,z)$를 가질 필요충분조건은 다음과 같다
  1. $a,b,c$가 모두 같은 부호를 갖지 않는다
  2. $-ab,-bc,-ca$는 $(\mathbb{Z}/c\mathbb{Z})^{\times},(\mathbb{Z}/a\mathbb{Z})^{\times},(\mathbb{Z}/b\mathbb{Z})^{\times}$에서 각각 완전제곱이다


세 완전제곱수의 합

정리

자연수 $n$에 대하여, 부정방정식 $x^2+y^2+z^2=n$ 이 정수해를 가질 필요충분조건은 $n$이 $4^a(8b+7), \, a,b\in \mathbb{Z}$ 꼴로 쓰여지지 않는 것이다.


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관련논문

  • Anish Ghosh, Dubi Kelmer, A Quantitative Oppenheim Theorem for generic ternary quadratic forms, arXiv:1606.02388 [math.NT], June 08 2016, http://arxiv.org/abs/1606.02388
  • Kyoungmin Kim, Byeong-Kweon Oh, The number of representations of squares by integral ternary quadratic forms (II), arXiv:1604.08719 [math.NT], April 29 2016, http://arxiv.org/abs/1604.08719
  • Ju, Jangwon, Inhwan Lee, and Byeong-Kweon Oh. “A Generalization of Watson Transformation and Representations of Ternary Quadratic Forms.” arXiv:1601.01433 [math], January 7, 2016. http://arxiv.org/abs/1601.01433.
  • Kim, Kyoungmin, and Byeong-Kweon Oh. “The Number of Representations of Squares by Integral Ternary Quadratic Forms.” arXiv:1509.09111 [math], September 30, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.09111.
  • Durham, Gabriel. “Representation of Integers by Ternary Quadratic Forms: A Geometric Approach.” arXiv:1509.02590 [math], September 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.02590.
  • Blackwell, Sarah, Gabriel Durham, Katherine Thompson, and Tiffany Treece. “A Generalization of Mordell to Ternary Quadratic Forms.” arXiv:1508.02694 [math], August 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.02694.