"데데킨트 합"의 두 판 사이의 차이
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| − | * [[데데킨트 에타함수]]의 모듈라 성질을 기술하기 위하여 도입 | + | * [[데데킨트 에타함수]]의 모듈라 성질을 기술하기 위하여 도입 |
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==정의== | ==정의== | ||
| − | * 다음과 같이 | + | * 다음과 같이 sawtooth 함수를 정의하자:<math>\left((x)\right)= \begin{cases} x-\lfloor x\rfloor - 1/2 & \mbox{ if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{ if } x\in\mathbb{Z} \end{cases}</math> |
| − | * 예:<math>((0.8))=0.8-0-0.5=0.3</math>:<math>((-0.2))=-0.2-(-1)-0.5=0.3</math | + | 여기서 <math>\lfloor x\rfloor</math>는 <math>x</math>이하의 [[최대정수함수 (가우스함수)]] |
| − | * 서로 소인 두 정수<math>h, k\,(k>0)</math>에 대하여 데데킨트 | + | * 그래프는 다음과 같다 |
| + | [[파일:데데킨트 합1.png]] | ||
| + | * 예:<math>((0.8))=0.8-0-0.5=0.3</math>:<math>((-0.2))=-0.2-(-1)-0.5=0.3</math> | ||
| + | * 서로 소인 두 정수<math>h, k\,(k>0)</math>에 대하여 데데킨트 합 <math>s(h,k)</math>은 다음과 같이 정의됨:<math>s(h,k)=\sum_{n\mod k} \left( \left( \frac{n}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)</math>:<math>s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k} \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)</math> | ||
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==코탄젠트합으로서의 표현== | ==코탄젠트합으로서의 표현== | ||
| − | * 서로 소인 두 정수<math>b,c\,(c>0)</math>에 대하여 다음 등식이 성립함:<math>s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1} \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)</math | + | * 서로 소인 두 정수<math>b,c\,(c>0)</math>에 대하여 다음 등식이 성립함:<math>s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1} \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)</math> |
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==상호법칙== | ==상호법칙== | ||
| − | * (정리) 데데킨트 | + | * (정리) 데데킨트 서로 소인 양의 정수 <math>d</math>와 <math>c</math>에 대하여 다음이 성립한다.:<math>s(d,c)+s(c,d) =\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)-\frac{1}{4}</math> |
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(증명) | (증명) | ||
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<math>F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz</math> | <math>F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz</math> | ||
| − | 네 점 <math>\pm iM, 1+\pm iM</math>을 꼭지점으로 갖는 사각형을 조금 | + | 네 점 <math>\pm iM, 1+\pm iM</math>을 꼭지점으로 갖는 사각형을 조금 수정하여 0은 포함하고, 1은 빠지도록 하는 폐곡선 <math>\Gamma</math>에 대한 적분을 사용한다. |
| − | <math>\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i</math>이므로, | + | <math>\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i</math>이므로, <math>\lim_{M\to \infty}F(x+iM)=-i</math> 임을 확인하자. |
| − | <math>\int_{\Gamma}F(z)dz</math> | + | <math>\int_{\Gamma}F(z)dz</math> 는 <math>M</math>에 의존하지 않으므로, <math>\int_{\Gamma}F(z)dz = \lim_{M\to\infty}\int_{\Gamma}F(z)dz=-2i</math>을 얻는다. |
| − | + | 따라서 <math>\Gamma</math> 내부에 있는 유수의 합 <math>S</math>는 <math>-\frac{1}{\pi}</math> 가 된다. | |
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폴은 다음과 같은 점에서 발생한다. | 폴은 다음과 같은 점에서 발생한다. | ||
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| − | * <math>z=\lambda/c\,, \lambda=1,2,\cdots, c-1</math | + | * <math>z=\lambda/c\,, \lambda=1,2,\cdots, c-1</math> |
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| − | <math>F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)</math> | + | |
| + | [[코탄젠트]]의 급수전개를 사용하여 <math>z=0</math>에서의 유수를 구하자. | ||
| + | :<math>F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)</math> | ||
| − | + | 따라서 <math>z=0</math>에서의 유수는 <math>-\frac{1}{3\pi}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{cd}+\frac{c}{d}\right)</math> 이다. | |
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| − | <math>S=\frac{4}{\pi}[-\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)+s(d,c)+s(c,d)]=-\frac{1}{\pi}</math> | + | <math>S=\frac{4}{\pi}[-\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)+s(d,c)+s(c,d)]=-\frac{1}{\pi}</math> 를 얻는다. ■ |
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==일반화== | ==일반화== | ||
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<math>D(a,b;c)=\sum_{n\mod c} \left( \left( \frac{an}{c} \right) \right) \left( \left( \frac{bn}{c} \right) \right)</math> | <math>D(a,b;c)=\sum_{n\mod c} \left( \left( \frac{an}{c} \right) \right) \left( \left( \frac{bn}{c} \right) \right)</math> | ||
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==h,k가 작은 경우 데데킨트합의 목록== | ==h,k가 작은 경우 데데킨트합의 목록== | ||
| − | * <math>s(h,k)</math | + | * <math>s(h,k)</math> s(1,1)=0 s(1,2)=0 s(1,3)=1/18 s(2,3)=-(1/18) s(1,4)=1/8 s(3,4)=-(1/8) s(1,5)=1/5 s(2,5)=0 s(3,5)=0 s(4,5)=-(1/5) s(1,6)=5/18 s(5,6)=-(5/18) s(1,7)=5/14 s(2,7)=1/14 s(3,7)=-(1/14) s(4,7)=1/14 s(5,7)=-(1/14) s(6,7)=-(5/14) s(1,8)=7/16 s(3,8)=1/16 s(5,8)=-(1/16) s(7,8)=-(7/16) s(1,9)=14/27 s(2,9)=4/27 s(4,9)=-(4/27) s(5,9)=4/27 s(7,9)=-(4/27) s(8,9)=-(14/27) s(1,10)=3/5 s(3,10)=0 s(7,10)=0 s(9,10)=-(3/5) s(1,11)=15/22 s(2,11)=5/22 s(3,11)=3/22 s(4,11)=3/22 s(5,11)=-(5/22) s(6,11)=5/22 s(7,11)=-(3/22) s(8,11)=-(3/22) s(9,11)=-(5/22) s(10,11)=-(15/22) s(1,12)=55/72 s(5,12)=-(1/72) s(7,12)=1/72 s(11,12)=-(55/72) s(1,13)=11/13 s(2,13)=4/13 s(3,13)=1/13 s(4,13)=-(1/13) s(5,13)=0 s(6,13)=-(4/13) s(7,13)=4/13 s(8,13)=0 s(9,13)=1/13 s(10,13)=-(1/13) s(11,13)=-(4/13) s(12,13)=-(11/13) s(1,14)=13/14 s(3,14)=3/14 s(5,14)=3/14 s(9,14)=-(3/14) s(11,14)=-(3/14) s(13,14)=-(13/14) s(1,15)=91/90 s(2,15)=7/18 s(4,15)=19/90 s(7,15)=-(7/18) s(8,15)=7/18 s(11,15)=-(19/90) s(13,15)=-(7/18) s(14,15)=-(91/90) s(1,16)=35/32 s(3,16)=5/32 s(5,16)=-(5/32) s(7,16)=-(3/32) s(9,16)=3/32 s(11,16)=5/32 s(13,16)=-(5/32) s(15,16)=-(35/32) s(1,17)=20/17 s(2,17)=8/17 s(3,17)=5/17 s(4,17)=0 s(5,17)=1/17 s(6,17)=5/17 s(7,17)=1/17 s(8,17)=-(8/17) s(9,17)=8/17 s(10,17)=-(1/17) s(11,17)=-(5/17) s(12,17)=-(1/17) s(13,17)=0 s(14,17)=-(5/17) s(15,17)=-(8/17) s(16,17)=-(20/17) s(1,18)=34/27 s(5,18)=2/27 s(7,18)=-(2/27) s(11,18)=2/27 s(13,18)=-(2/27) s(17,18)=-(34/27) s(1,19)=51/38 s(2,19)=21/38 s(3,19)=9/38 s(4,19)=11/38 s(5,19)=11/38 s(6,19)=-(9/38) s(7,19)=3/38 s(8,19)=-(3/38) s(9,19)=-(21/38) s(10,19)=21/38 s(11,19)=3/38 s(12,19)=-(3/38) s(13,19)=9/38 s(14,19)=-(11/38) s(15,19)=-(11/38) s(16,19)=-(9/38) s(17,19)=-(21/38) s(18,19)=-(51/38) s(1,20)=57/40 s(3,20)=3/8 s(7,20)=3/8 s(9,20)=-(7/40) s(11,20)=7/40 s(13,20)=-(3/8) s(17,20)=-(3/8) s(19,20)=-(57/40) |
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNmU3MzVlOTctOTIxYi00ZDZkLTkwMzgtYjJkZTY5Y2Q1NDkw&sort=name&layout=list&num=50 | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNmU3MzVlOTctOTIxYi00ZDZkLTkwMzgtYjJkZTY5Y2Q1NDkw&sort=name&layout=list&num=50 | ||
| − | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | + | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=sawtooth+function |
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* http://en.wikipedia.org/wiki/ | * http://en.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://mathworld.wolfram.com/DedekindSum.html | * http://mathworld.wolfram.com/DedekindSum.html | ||
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==관련도서== | ==관련도서== | ||
| − | * [http://math.sfsu.edu/beck/ccd.html Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra] | + | * [http://math.sfsu.edu/beck/ccd.html Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra] |
| − | ** Matthias Beck and Sinai Robins, | + | ** Matthias Beck and Sinai Robins, Springer, 2007 |
| − | * Dedekind Sums, The Carus Mathematical Monographs | + | * Dedekind Sums, The Carus Mathematical Monographs |
| − | ** H. Rademacher and E. Grosswald | + | ** H. Rademacher and E. Grosswald |
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
| − | * [http://arxiv.org/abs/math.NT/0112077 Dedekind cotangent sums] | + | * [http://arxiv.org/abs/math.NT/0112077 Dedekind cotangent sums] |
| − | ** Matthias Beck, | + | ** Matthias Beck, Acta Arithmetica 109, no.2 (2003), 109-130 |
| − | * [http://www.jstor.org/stable/2316571?&Search=yes&term=Emil&term=Grosswald,&term=,&term=%22Dedekind-Rademacher+sums%22&list=hide&searchUri=/action/doBasicSearch%3FQuery%3DEmil%2BGrosswald%252C%2B%2522%2BDedekind-Rademacher%2Bsums%2B%2522%252C%26x%3D0%26y%3D0%26wc%3Don&item=1&ttl=3&returnArticleService=showArticle Dedekind-Rademacher Sums] | + | * [http://www.jstor.org/stable/2316571?&Search=yes&term=Emil&term=Grosswald,&term=,&term=%22Dedekind-Rademacher+sums%22&list=hide&searchUri=/action/doBasicSearch%3FQuery%3DEmil%2BGrosswald%252C%2B%2522%2BDedekind-Rademacher%2Bsums%2B%2522%252C%26x%3D0%26y%3D0%26wc%3Don&item=1&ttl=3&returnArticleService=showArticle Dedekind-Rademacher Sums] |
| − | ** Emil Grosswald, | + | ** Emil Grosswald, The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 6 (Jun. - Jul., 1971), pp. 639-644 |
| − | * [http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.nmj/1118797877&page=record The reciprocity of Dedekind sums | + | * [http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.nmj/1118797877&page=record The reciprocity of Dedekind sums and the factor set for the universal covering group of] <math>{\rm SL}(2,\,R)</math> |
| − | ** Tetsuya Asai, | + | ** Tetsuya Asai, Source: Nagoya Math. J. Volume 37 (1970), 67-80. |
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2013년 4월 12일 (금) 02:21 판
개요
- 데데킨트 에타함수의 모듈라 성질을 기술하기 위하여 도입
정의
- 다음과 같이 sawtooth 함수를 정의하자\[\left((x)\right)= \begin{cases} x-\lfloor x\rfloor - 1/2 & \mbox{ if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{ if } x\in\mathbb{Z} \end{cases}\]
여기서 \(\lfloor x\rfloor\)는 \(x\)이하의 최대정수함수 (가우스함수)
- 그래프는 다음과 같다
- 예\[((0.8))=0.8-0-0.5=0.3\]\[((-0.2))=-0.2-(-1)-0.5=0.3\]
- 서로 소인 두 정수\(h, k\,(k>0)\)에 대하여 데데킨트 합 \(s(h,k)\)은 다음과 같이 정의됨\[s(h,k)=\sum_{n\mod k} \left( \left( \frac{n}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)\]\[s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k} \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)\]
코탄젠트합으로서의 표현
- 서로 소인 두 정수\(b,c\,(c>0)\)에 대하여 다음 등식이 성립함\[s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1} \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)\]
상호법칙
- (정리) 데데킨트 서로 소인 양의 정수 \(d\)와 \(c\)에 대하여 다음이 성립한다.\[s(d,c)+s(c,d) =\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)-\frac{1}{4}\]
(증명)
\(F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz\)
네 점 \(\pm iM, 1+\pm iM\)을 꼭지점으로 갖는 사각형을 조금 수정하여 0은 포함하고, 1은 빠지도록 하는 폐곡선 \(\Gamma\)에 대한 적분을 사용한다.
\(\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i\)이므로, \(\lim_{M\to \infty}F(x+iM)=-i\) 임을 확인하자.
\(\int_{\Gamma}F(z)dz\) 는 \(M\)에 의존하지 않으므로, \(\int_{\Gamma}F(z)dz = \lim_{M\to\infty}\int_{\Gamma}F(z)dz=-2i\)을 얻는다.
따라서 \(\Gamma\) 내부에 있는 유수의 합 \(S\)는 \(-\frac{1}{\pi}\) 가 된다.
폴은 다음과 같은 점에서 발생한다.
- \(z=0\)
- \(z=\lambda/c\,, \lambda=1,2,\cdots, c-1\)
- \(z=\mu/d\,, \mu=1,2,\cdots, d-1\)
\(z=\lambda/c\) 에서의 유수는 \(\frac{1}{\pi c}\cot \frac{\pi \lambda}{c}\cot\frac{\pi d\lambda}{c}\)
\(z=\mu/c\) 에서의 유수는 \(\frac{1}{\pi d}\cot \frac{\pi \mu}{d}\cot\frac{\pi c\mu}{d}\)
코탄젠트의 급수전개를 사용하여 \(z=0\)에서의 유수를 구하자.
\[F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)\]
따라서 \(z=0\)에서의 유수는 \(-\frac{1}{3\pi}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{cd}+\frac{c}{d}\right)\) 이다.
\(S=\frac{4}{\pi}[-\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)+s(d,c)+s(c,d)]=-\frac{1}{\pi}\) 를 얻는다. ■
일반화
\(D(a,b;c)=\sum_{n\mod c} \left( \left( \frac{an}{c} \right) \right) \left( \left( \frac{bn}{c} \right) \right)\)
h,k가 작은 경우 데데킨트합의 목록
- \(s(h,k)\) s(1,1)=0 s(1,2)=0 s(1,3)=1/18 s(2,3)=-(1/18) s(1,4)=1/8 s(3,4)=-(1/8) s(1,5)=1/5 s(2,5)=0 s(3,5)=0 s(4,5)=-(1/5) s(1,6)=5/18 s(5,6)=-(5/18) s(1,7)=5/14 s(2,7)=1/14 s(3,7)=-(1/14) s(4,7)=1/14 s(5,7)=-(1/14) s(6,7)=-(5/14) s(1,8)=7/16 s(3,8)=1/16 s(5,8)=-(1/16) s(7,8)=-(7/16) s(1,9)=14/27 s(2,9)=4/27 s(4,9)=-(4/27) s(5,9)=4/27 s(7,9)=-(4/27) s(8,9)=-(14/27) s(1,10)=3/5 s(3,10)=0 s(7,10)=0 s(9,10)=-(3/5) s(1,11)=15/22 s(2,11)=5/22 s(3,11)=3/22 s(4,11)=3/22 s(5,11)=-(5/22) s(6,11)=5/22 s(7,11)=-(3/22) s(8,11)=-(3/22) s(9,11)=-(5/22) s(10,11)=-(15/22) s(1,12)=55/72 s(5,12)=-(1/72) s(7,12)=1/72 s(11,12)=-(55/72) s(1,13)=11/13 s(2,13)=4/13 s(3,13)=1/13 s(4,13)=-(1/13) s(5,13)=0 s(6,13)=-(4/13) s(7,13)=4/13 s(8,13)=0 s(9,13)=1/13 s(10,13)=-(1/13) s(11,13)=-(4/13) s(12,13)=-(11/13) s(1,14)=13/14 s(3,14)=3/14 s(5,14)=3/14 s(9,14)=-(3/14) s(11,14)=-(3/14) s(13,14)=-(13/14) s(1,15)=91/90 s(2,15)=7/18 s(4,15)=19/90 s(7,15)=-(7/18) s(8,15)=7/18 s(11,15)=-(19/90) s(13,15)=-(7/18) s(14,15)=-(91/90) s(1,16)=35/32 s(3,16)=5/32 s(5,16)=-(5/32) s(7,16)=-(3/32) s(9,16)=3/32 s(11,16)=5/32 s(13,16)=-(5/32) s(15,16)=-(35/32) s(1,17)=20/17 s(2,17)=8/17 s(3,17)=5/17 s(4,17)=0 s(5,17)=1/17 s(6,17)=5/17 s(7,17)=1/17 s(8,17)=-(8/17) s(9,17)=8/17 s(10,17)=-(1/17) s(11,17)=-(5/17) s(12,17)=-(1/17) s(13,17)=0 s(14,17)=-(5/17) s(15,17)=-(8/17) s(16,17)=-(20/17) s(1,18)=34/27 s(5,18)=2/27 s(7,18)=-(2/27) s(11,18)=2/27 s(13,18)=-(2/27) s(17,18)=-(34/27) s(1,19)=51/38 s(2,19)=21/38 s(3,19)=9/38 s(4,19)=11/38 s(5,19)=11/38 s(6,19)=-(9/38) s(7,19)=3/38 s(8,19)=-(3/38) s(9,19)=-(21/38) s(10,19)=21/38 s(11,19)=3/38 s(12,19)=-(3/38) s(13,19)=9/38 s(14,19)=-(11/38) s(15,19)=-(11/38) s(16,19)=-(9/38) s(17,19)=-(21/38) s(18,19)=-(51/38) s(1,20)=57/40 s(3,20)=3/8 s(7,20)=3/8 s(9,20)=-(7/40) s(11,20)=7/40 s(13,20)=-(3/8) s(17,20)=-(3/8) s(19,20)=-(57/40)
역사
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNmU3MzVlOTctOTIxYi00ZDZkLTkwMzgtYjJkZTY5Y2Q1NDkw&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=sawtooth+function
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_sum
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://mathworld.wolfram.com/DedekindSum.html
관련도서
- Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra
- Matthias Beck and Sinai Robins, Springer, 2007
- Dedekind Sums, The Carus Mathematical Monographs
- H. Rademacher and E. Grosswald
관련논문
- Dedekind cotangent sums
- Matthias Beck, Acta Arithmetica 109, no.2 (2003), 109-130
- Dedekind-Rademacher Sums
- Emil Grosswald, The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 6 (Jun. - Jul., 1971), pp. 639-644
- The reciprocity of Dedekind sums and the factor set for the universal covering group of \({\rm SL}(2,\,R)\)
- Tetsuya Asai, Source: Nagoya Math. J. Volume 37 (1970), 67-80.