데데킨트 합

개요

• 데데킨트 에타함수의 모듈라 성질을 기술하기 위하여 도입
• 코탄젠트 합으로 쓸 수 있다

정의

• 다음과 같이 sawtooth 함수를 정의하자\[\left((x)\right)= \begin{cases} x-\lfloor x\rfloor - 1/2 & \mbox{ if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{ if } x\in\mathbb{Z} \end{cases}\]

여기서 \(\lfloor x\rfloor\)는 \(x\)이하의 최대정수함수 (가우스함수)

• 그래프는 다음과 같다

• 예\[((0.8))=0.8-0-0.5=0.3\]\[((-0.2))=-0.2-(-1)-0.5=0.3\]
• 서로 소인 두 정수\(h, k\,(k>0)\)에 대하여 데데킨트 합 \(s(h,k)\)은 다음과 같이 정의됨\[s(h,k)=\sum_{n\mod k} \left( \left( \frac{n}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)\]\[s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k} \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)\]

코탄젠트합으로서의 표현

• 서로 소인 두 정수\(h,k\,(k>0)\)에 대하여 다음 등식이 성립함

$$ s(h,k)=\frac{1}{4k}\sum_{n=1}^{k-1} \cot \left( \frac{\pi n}{k} \right) \cot \left( \frac{\pi nh}{k} \right) $$

상호법칙

• (정리) 데데킨트 서로 소인 양의 정수 $c$와 $d$에 대하여 다음이 성립한다

\[s(d,c)+s(c,d) =\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)-\frac{1}{4}\]

(증명)

\(F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz\)

네 점 \(\pm iM, 1+\pm iM\)을 꼭지점으로 갖는 사각형을 조금 수정하여 0은 포함하고, 1은 빠지도록 하는 폐곡선 \(\Gamma\)에 대한 적분을 사용한다.

\(\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i\)이므로, \(\lim_{M\to \infty}F(x+iM)=-i\) 임을 확인하자.

\(\int_{\Gamma}F(z)dz\) 는 \(M\)에 의존하지 않으므로, \(\int_{\Gamma}F(z)dz = \lim_{M\to\infty}\int_{\Gamma}F(z)dz=-2i\)을 얻는다.

따라서 \(\Gamma\) 내부에 있는 유수의 합 \(S\)는 \(-\frac{1}{\pi}\) 가 된다.

폴은 다음과 같은 점에서 발생한다.

• \(z=0\)
• \(z=\lambda/c\,, \lambda=1,2,\cdots, c-1\)
• \(z=\mu/d\,, \mu=1,2,\cdots, d-1\)

\(z=\lambda/c\) 에서의 유수는 \(\frac{1}{\pi c}\cot \frac{\pi \lambda}{c}\cot\frac{\pi d\lambda}{c}\)

\(z=\mu/c\) 에서의 유수는 \(\frac{1}{\pi d}\cot \frac{\pi \mu}{d}\cot\frac{\pi c\mu}{d}\)

코탄젠트의 급수전개를 사용하여 \(z=0\)에서의 유수를 구하자. \[F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)\]

따라서 \(z=0\)에서의 유수는 \(-\frac{1}{3\pi}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{cd}+\frac{c}{d}\right)\) 이다.

\(S=\frac{4}{\pi}[-\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)+s(d,c)+s(c,d)]=-\frac{1}{\pi}\) 를 얻는다. ■

일반화

• $p\geq 1$이고, $q,r$은 $p$와 서로 소인 정수

$$ \begin{align} S(p;q,r)&=\sum_{k=1}^{p-1}\left( \left( \frac{qk}{p} \right) \right) \left( \left( \frac{rk}{p} \right) \right) \\ &=\frac{1}{4p}\sum_{k=1}^{p-1} \cot \left( \frac{\pi qk}{p} \right) \cot \left( \frac{\pi rk}{p} \right) \end{align} $$

• 라데마커 상호법칙 : 서로 소인 정수 $p,q,r\geq 1$에 대하여, 다음이 성립한다

$$ S(p;q,r)+S(q;r,p)+S(r;p,q)=\frac{ \left(p^2+q^2+r^2-3 p q r\right)}{12 p q r} $$

• 마르코프 수

h,k가 작은 경우 데데킨트합의 목록

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} h & k & s(h,k) & s(k,h) & s(h,k)+s(k,h) & \frac{1}{12}\left(\frac{k}{h}+\frac{h}{k}+\frac{1}{h k}\right)-\frac{1}{4} \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & \frac{1}{18} & 0 & \frac{1}{18} & \frac{1}{18} \\ 2 & 3 & -\frac{1}{18} & 0 & -\frac{1}{18} & -\frac{1}{18} \\ 1 & 4 & \frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\ 3 & 4 & -\frac{1}{8} & \frac{1}{18} & -\frac{5}{72} & -\frac{5}{72} \\ 1 & 5 & \frac{1}{5} & 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & -\frac{1}{18} & -\frac{1}{18} & -\frac{1}{18} \\ 4 & 5 & -\frac{1}{5} & \frac{1}{8} & -\frac{3}{40} & -\frac{3}{40} \\ 1 & 6 & \frac{5}{18} & 0 & \frac{5}{18} & \frac{5}{18} \\ 5 & 6 & -\frac{5}{18} & \frac{1}{5} & -\frac{7}{90} & -\frac{7}{90} \\ 1 & 7 & \frac{5}{14} & 0 & \frac{5}{14} & \frac{5}{14} \\ 2 & 7 & \frac{1}{14} & 0 & \frac{1}{14} & \frac{1}{14} \\ 3 & 7 & -\frac{1}{14} & \frac{1}{18} & -\frac{1}{63} & -\frac{1}{63} \\ 4 & 7 & \frac{1}{14} & -\frac{1}{8} & -\frac{3}{56} & -\frac{3}{56} \\ 5 & 7 & -\frac{1}{14} & 0 & -\frac{1}{14} & -\frac{1}{14} \\ 6 & 7 & -\frac{5}{14} & \frac{5}{18} & -\frac{5}{63} & -\frac{5}{63} \\ 1 & 8 & \frac{7}{16} & 0 & \frac{7}{16} & \frac{7}{16} \\ 3 & 8 & \frac{1}{16} & -\frac{1}{18} & \frac{1}{144} & \frac{1}{144} \\ 5 & 8 & -\frac{1}{16} & 0 & -\frac{1}{16} & -\frac{1}{16} \\ 7 & 8 & -\frac{7}{16} & \frac{5}{14} & -\frac{9}{112} & -\frac{9}{112} \\ 1 & 9 & \frac{14}{27} & 0 & \frac{14}{27} & \frac{14}{27} \\ 2 & 9 & \frac{4}{27} & 0 & \frac{4}{27} & \frac{4}{27} \\ 4 & 9 & -\frac{4}{27} & \frac{1}{8} & -\frac{5}{216} & -\frac{5}{216} \\ 5 & 9 & \frac{4}{27} & -\frac{1}{5} & -\frac{7}{135} & -\frac{7}{135} \\ 7 & 9 & -\frac{4}{27} & \frac{1}{14} & -\frac{29}{378} & -\frac{29}{378} \\ 8 & 9 & -\frac{14}{27} & \frac{7}{16} & -\frac{35}{432} & -\frac{35}{432} \\ 1 & 10 & \frac{3}{5} & 0 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\ 3 & 10 & 0 & \frac{1}{18} & \frac{1}{18} & \frac{1}{18} \\ 7 & 10 & 0 & -\frac{1}{14} & -\frac{1}{14} & -\frac{1}{14} \\ 9 & 10 & -\frac{3}{5} & \frac{14}{27} & -\frac{11}{135} & -\frac{11}{135} \\ \end{array} $$

역사

• 수학사 연표

관련된 항목들

• 데데킨트 에타함수
• 코탄젠트
• 왓슨 변환(Watson transform)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNmU3MzVlOTctOTIxYi00ZDZkLTkwMzgtYjJkZTY5Y2Q1NDkw&sort=name&layout=list&num=50
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=sawtooth+function

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_sum
• http://mathworld.wolfram.com/DedekindSum.html

관련도서

• Matthias Beck and Sinai Robins Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra, Springer, 2007
• H. Rademacher and E. Grosswald, Dedekind Sums, The Carus Mathematical Monographs

관련논문

• Dedekind cotangent sums
  • Matthias Beck, Acta Arithmetica 109, no.2 (2003), 109-130
• Dedekind-Rademacher Sums
  • Emil Grosswald, The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 6 (Jun. - Jul., 1971), pp. 639-644
• The reciprocity of Dedekind sums and the factor set for the universal covering group of \({\rm SL}(2,\,R)\)
  • Tetsuya Asai, Source: Nagoya Math. J. Volume 37 (1970), 67-80.