"데데킨트 합"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
  
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* [[데데킨트 합]]
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* [[데데킨트 에타함수]]의 모듈라 성질을 기술하기 위하여 도입
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* 코탄젠트 합으로 쓸 수 있다
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==정의==
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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*  다음과 같이 sawtooth 함수를 정의하자:<math>\left((x)\right)= \begin{cases} x-\lfloor x\rfloor - 1/2 & \mbox{ if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{ if } x\in\mathbb{Z} \end{cases}</math>
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여기서 <math>\lfloor x\rfloor</math>는 <math>x</math>이하의 [[최대정수함수 (가우스함수)]]
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* 그래프는 다음과 같다
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[[파일:데데킨트 합1.png]]
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*  예:<math>((0.8))=0.8-0-0.5=0.3</math>:<math>((-0.2))=-0.2-(-1)-0.5=0.3</math>
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*  서로 소인 두 정수<math>h, k\,(k>0)</math>에 대하여 데데킨트 합 <math>s(h,k)</math>은 다음과 같이 정의됨:<math>s(h,k)=\sum_{n\mod k} \left( \left( \frac{n}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)</math>:<math>s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k}  \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)</math>
  
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* [[데데킨트 에타함수]]의 모듈라 성질을 기술하기 위하여 도입<br>
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==코탄젠트합으로서의 표현==
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*  서로 소인 두 정수<math>h,k\,(k>0)</math>에 대하여 다음 등식이 성립함
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:<math>
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s(h,k)=\frac{1}{4k}\sum_{n=1}^{k-1}  \cot \left( \frac{\pi n}{k} \right) \cot \left( \frac{\pi nh}{k} \right)
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</math>
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">정의</h5>
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* 다음과 같이 sawtooth 함수를 정의하자<br><math>\left((x)\right)= \begin{cases} x-\lfloor x\rfloor - 1/2 & \mbox{ if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{ if } x\in\mathbb{Z} \end{cases}</math><br><math>\lfloor x\rfloor</math>는 <math>x</math>이하의 최대정수함수(가우스함수)<br>
+
   
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*  예<br><math>((0.8))=0.8-0-0.5=0.3</math><br><math>((-0.2))=-0.2-(-1)-0.5=0.3</math><br>
 
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*  서로 소인 두 정수<math>h, k\,(k>0)</math>에 대하여 데데킨트 합 <math>s(h,k)</math>은 다음과 같이 정의됨<br><math>s(h,k)=\sum_{n\mod k} \left( \left( \frac{n}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)</math><br><math>s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k}  \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)</math><br>  <br>
 
  
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==상호법칙==
  
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*  (정리) 데데킨트 서로 소인 양의 정수 <math>c</math>와 <math>d</math>에 대하여 다음이 성립한다
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:<math>s(d,c)+s(c,d) =\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)-\frac{1}{4}</math>
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">코탄젠트합으로서의 표현</h5>
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* 서로 소인 두 정수<math>b,c\,(c>0)</math>에 대하여 다음 등식이 성립함<br><math>s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1}  \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)</math><br>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">상호법칙</h5>
 
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*  (정리) 데데킨트<br> 서로 소인 양의 정수 <math>d</math>와 <math>c</math>에 대하여 다음이 성립한다.<br><math>s(d,c)+s(c,d) =\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)-\frac{1}{4}</math><br>
 
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(증명)
 
(증명)
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<math>F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz</math>
 
<math>F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz</math>
  
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사각형 <math>\pm iM, 1+\pm iM</math> 을 조금 수정하여 0은 포함하고, 1은 빠지도록 하는 폐곡선 <math>\Gamma</math>에 대한 적분을 사용한다.
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네 점 <math>\pm iM, 1+\pm iM</math>을 꼭지점으로 갖는 사각형을 조금 수정하여 0은 포함하고, 1은 빠지도록 하는 폐곡선 <math>\Gamma</math>에 대한 적분을 사용한다.
  
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<math>\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i</math>이므로, <math>\lim_{M\to \infty}F(x+iM)=-i</math> 임을 확인하자.
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<math>\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i</math>이므로, <math>\lim_{M\to \infty}F(x+iM)=-i</math> 임을 확인하자.
  
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<math>\int_{\Gamma}F(z)dz</math> 는 <math>M</math>에 의존하지 않으므로, <math>\int_{\Gamma}F(z)dz = \lim_{M\to\infty}\int_{\Gamma}F(z)dz=-2i</math>을 얻는다.
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<math>\int_{\Gamma}F(z)dz</math> 는 <math>M</math>에 의존하지 않으므로, <math>\int_{\Gamma}F(z)dz = \lim_{M\to\infty}\int_{\Gamma}F(z)dz=-2i</math>을 얻는다.
  
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따라서 <math>\Gamma</math> 내부에 있는 유수의 합 <math>S</math>는 <math>-\frac{1}{\pi}</math> 가 된다.
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따라서 <math>\Gamma</math> 내부에 있는 유수의 합 <math>S</math>는 <math>-\frac{1}{\pi}</math> 가 된다.
  
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폴은 다음과 같은 점에서 발생한다.
 
폴은 다음과 같은 점에서 발생한다.
  
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* <math>z=0</math><br>
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* <math>z=0</math>
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* <math>z=\lambda/c\,, \lambda=1,2,\cdots, c-1</math><br>
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* <math>z=\lambda/c\,, \lambda=1,2,\cdots, c-1</math>
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* <math>z=\mu/d\,, \mu=1,2,\cdots, d-1</math><br>
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* <math>z=\mu/d\,, \mu=1,2,\cdots, d-1</math>
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<math>z=\lambda/c</math> 에서의 유수는 <math>\frac{1}{\pi c}\cot \frac{\pi \lambda}{c}\cot\frac{\pi d\lambda}{c}</math>
 
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<math>z=\mu/c</math> 에서의 유수는 <math>\frac{1}{\pi d}\cot \frac{\pi \mu}{c}\cot\frac{\pi d\mu}{c}</math>
 
  
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<math>z=\lambda/c</math> 에서의 유수는 <math>\frac{1}{\pi c}\cot \frac{\pi \lambda}{c}\cot\frac{\pi d\lambda}{c}</math>
  
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 [[코탄젠트]]의 급수전개를 사용하여 <math>z=0</math>에서의 유수를 구하자.
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<math>z=\mu/c</math> 에서의 유수는 <math>\frac{1}{\pi d}\cot \frac{\pi \mu}{d}\cot\frac{\pi c\mu}{d}</math>
  
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<math>F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)</math>
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[[코탄젠트]]의 급수전개를 사용하여 <math>z=0</math>에서의 유수를 구하자.
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:<math>F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)</math>
  
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따라서 <math>z=0</math>에서의 유수는 <math>-\frac{1}{3\pi}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{cd}+\frac{c}{d}\right)</math> 이다. 
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따라서 <math>z=0</math>에서의 유수는 <math>-\frac{1}{3\pi}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{cd}+\frac{c}{d}\right)</math> 이다.  
  
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<math>S=\frac{4}{\pi}[-\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)+s(d,c)+s(c,d)]=-\frac{1}{\pi}</math> 를 얻는다. ■
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<math>S=\frac{4}{\pi}[-\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)+s(d,c)+s(c,d)]=-\frac{1}{\pi}</math> 를 얻는다. ■
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">일반화</h5>
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==일반화==
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* <math>p\geq 1</math>이고, <math>q,r</math>은 <math>p</math>와 서로 소인 정수
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
S(p;q,r)&=\sum_{k=1}^{p-1}\left( \left( \frac{qk}{p} \right) \right)  \left( \left( \frac{rk}{p} \right) \right) \\
 +
&=\frac{1}{4p}\sum_{k=1}^{p-1}  \cot \left( \frac{\pi qk}{p} \right) \cot \left( \frac{\pi rk}{p} \right)
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
* 라데마커 상호법칙 : 서로 소인 정수 <math>p,q,r\geq 1</math>에 대하여, 다음이 성립한다
 +
:<math>
 +
S(p;q,r)+S(q;r,p)+S(r;p,q)=\frac{ \left(p^2+q^2+r^2-3 p q r\right)}{12 p q r}
 +
</math>
 +
* [[마르코프 수]]
  
−
<math>D(a,b;c)=\sum_{n\mod c} \left( \left( \frac{an}{c} \right) \right) \left( \left( \frac{bn}{c} \right) \right)</math>
+
   
  
−
 
+
==h,k가 작은 경우 데데킨트합의 목록==
 +
:<math>
 +
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
 +
h & k & s(h,k) & s(k,h) & s(h,k)+s(k,h) & \frac{1}{12}\left(\frac{k}{h}+\frac{h}{k}+\frac{1}{h k}\right)-\frac{1}{4} \\
 +
\hline
 +
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
 +
1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
 +
1 & 3 & \frac{1}{18} & 0 & \frac{1}{18} & \frac{1}{18} \\
 +
2 & 3 & -\frac{1}{18} & 0 & -\frac{1}{18} & -\frac{1}{18} \\
 +
1 & 4 & \frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\
 +
3 & 4 & -\frac{1}{8} & \frac{1}{18} & -\frac{5}{72} & -\frac{5}{72} \\
 +
1 & 5 & \frac{1}{5} & 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\
 +
2 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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3 & 5 & 0 & -\frac{1}{18} & -\frac{1}{18} & -\frac{1}{18} \\
 +
4 & 5 & -\frac{1}{5} & \frac{1}{8} & -\frac{3}{40} & -\frac{3}{40} \\
 +
1 & 6 & \frac{5}{18} & 0 & \frac{5}{18} & \frac{5}{18} \\
 +
5 & 6 & -\frac{5}{18} & \frac{1}{5} & -\frac{7}{90} & -\frac{7}{90} \\
 +
1 & 7 & \frac{5}{14} & 0 & \frac{5}{14} & \frac{5}{14} \\
 +
2 & 7 & \frac{1}{14} & 0 & \frac{1}{14} & \frac{1}{14} \\
 +
3 & 7 & -\frac{1}{14} & \frac{1}{18} & -\frac{1}{63} & -\frac{1}{63} \\
 +
4 & 7 & \frac{1}{14} & -\frac{1}{8} & -\frac{3}{56} & -\frac{3}{56} \\
 +
5 & 7 & -\frac{1}{14} & 0 & -\frac{1}{14} & -\frac{1}{14} \\
 +
6 & 7 & -\frac{5}{14} & \frac{5}{18} & -\frac{5}{63} & -\frac{5}{63} \\
 +
1 & 8 & \frac{7}{16} & 0 & \frac{7}{16} & \frac{7}{16} \\
 +
3 & 8 & \frac{1}{16} & -\frac{1}{18} & \frac{1}{144} & \frac{1}{144} \\
 +
5 & 8 & -\frac{1}{16} & 0 & -\frac{1}{16} & -\frac{1}{16} \\
 +
7 & 8 & -\frac{7}{16} & \frac{5}{14} & -\frac{9}{112} & -\frac{9}{112} \\
 +
1 & 9 & \frac{14}{27} & 0 & \frac{14}{27} & \frac{14}{27} \\
 +
2 & 9 & \frac{4}{27} & 0 & \frac{4}{27} & \frac{4}{27} \\
 +
4 & 9 & -\frac{4}{27} & \frac{1}{8} & -\frac{5}{216} & -\frac{5}{216} \\
 +
5 & 9 & \frac{4}{27} & -\frac{1}{5} & -\frac{7}{135} & -\frac{7}{135} \\
 +
7 & 9 & -\frac{4}{27} & \frac{1}{14} & -\frac{29}{378} & -\frac{29}{378} \\
 +
8 & 9 & -\frac{14}{27} & \frac{7}{16} & -\frac{35}{432} & -\frac{35}{432} \\
 +
1 & 10 & \frac{3}{5} & 0 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\
 +
3 & 10 & 0 & \frac{1}{18} & \frac{1}{18} & \frac{1}{18} \\
 +
7 & 10 & 0 & -\frac{1}{14} & -\frac{1}{14} & -\frac{1}{14} \\
 +
9 & 10 & -\frac{3}{5} & \frac{14}{27} & -\frac{11}{135} & -\frac{11}{135} \\
 +
\end{array}
 +
</math>
  
−
 
 
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">h,k가 작은 경우 데데킨트합의 목록</h5>
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==역사==
  
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* <math>s(h,k)</math><br> s(1,1)=0<br> s(1,2)=0<br> s(1,3)=1/18<br> s(2,3)=-(1/18)<br> s(1,4)=1/8<br> s(3,4)=-(1/8)<br> s(1,5)=1/5<br> s(2,5)=0<br> s(3,5)=0<br> s(4,5)=-(1/5)<br> s(1,6)=5/18<br> s(5,6)=-(5/18)<br> s(1,7)=5/14<br> s(2,7)=1/14<br> s(3,7)=-(1/14)<br> s(4,7)=1/14<br> s(5,7)=-(1/14)<br> s(6,7)=-(5/14)<br> s(1,8)=7/16<br> s(3,8)=1/16<br> s(5,8)=-(1/16)<br> s(7,8)=-(7/16)<br> s(1,9)=14/27<br> s(2,9)=4/27<br> s(4,9)=-(4/27)<br> s(5,9)=4/27<br> s(7,9)=-(4/27)<br> s(8,9)=-(14/27)<br> s(1,10)=3/5<br> s(3,10)=0<br> s(7,10)=0<br> s(9,10)=-(3/5)<br> s(1,11)=15/22<br> s(2,11)=5/22<br> s(3,11)=3/22<br> s(4,11)=3/22<br> s(5,11)=-(5/22)<br> s(6,11)=5/22<br> s(7,11)=-(3/22)<br> s(8,11)=-(3/22)<br> s(9,11)=-(5/22)<br> s(10,11)=-(15/22)<br> s(1,12)=55/72<br> s(5,12)=-(1/72)<br> s(7,12)=1/72<br> s(11,12)=-(55/72)<br> s(1,13)=11/13<br> s(2,13)=4/13<br> s(3,13)=1/13<br> s(4,13)=-(1/13)<br> s(5,13)=0<br> s(6,13)=-(4/13)<br> s(7,13)=4/13<br> s(8,13)=0<br> s(9,13)=1/13<br> s(10,13)=-(1/13)<br> s(11,13)=-(4/13)<br> s(12,13)=-(11/13)<br> s(1,14)=13/14<br> s(3,14)=3/14<br> s(5,14)=3/14<br> s(9,14)=-(3/14)<br> s(11,14)=-(3/14)<br> s(13,14)=-(13/14)<br> s(1,15)=91/90<br> s(2,15)=7/18<br> s(4,15)=19/90<br> s(7,15)=-(7/18)<br> s(8,15)=7/18<br> s(11,15)=-(19/90)<br> s(13,15)=-(7/18)<br> s(14,15)=-(91/90)<br> s(1,16)=35/32<br> s(3,16)=5/32<br> s(5,16)=-(5/32)<br> s(7,16)=-(3/32)<br> s(9,16)=3/32<br> s(11,16)=5/32<br> s(13,16)=-(5/32)<br> s(15,16)=-(35/32)<br> s(1,17)=20/17<br> s(2,17)=8/17<br> s(3,17)=5/17<br> s(4,17)=0<br> s(5,17)=1/17<br> s(6,17)=5/17<br> s(7,17)=1/17<br> s(8,17)=-(8/17)<br> s(9,17)=8/17<br> s(10,17)=-(1/17)<br> s(11,17)=-(5/17)<br> s(12,17)=-(1/17)<br> s(13,17)=0<br> s(14,17)=-(5/17)<br> s(15,17)=-(8/17)<br> s(16,17)=-(20/17)<br> s(1,18)=34/27<br> s(5,18)=2/27<br> s(7,18)=-(2/27)<br> s(11,18)=2/27<br> s(13,18)=-(2/27)<br> s(17,18)=-(34/27)<br> s(1,19)=51/38<br> s(2,19)=21/38<br> s(3,19)=9/38<br> s(4,19)=11/38<br> s(5,19)=11/38<br> s(6,19)=-(9/38)<br> s(7,19)=3/38<br> s(8,19)=-(3/38)<br> s(9,19)=-(21/38)<br> s(10,19)=21/38<br> s(11,19)=3/38<br> s(12,19)=-(3/38)<br> s(13,19)=9/38<br> s(14,19)=-(11/38)<br> s(15,19)=-(11/38)<br> s(16,19)=-(9/38)<br> s(17,19)=-(21/38)<br> s(18,19)=-(51/38)<br> s(1,20)=57/40<br> s(3,20)=3/8<br> s(7,20)=3/8<br> s(9,20)=-(7/40)<br> s(11,20)=7/40<br> s(13,20)=-(3/8)<br> s(17,20)=-(3/8)<br> s(19,20)=-(57/40)<br>
+
* [[수학사 연표]]
  
−
 
+
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
+
  
−
 
+
==관련된 항목들==
  
−
 
+
* [[데데킨트 에타함수]]
 +
* [[코탄젠트]]
 +
* [[왓슨 변환(Watson transform)]]
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
+
  
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br>
+
 +
  
−
 
+
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
−
 
+
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNmU3MzVlOTctOTIxYi00ZDZkLTkwMzgtYjJkZTY5Y2Q1NDkw&sort=name&layout=list&num=50
 +
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=sawtooth+function 
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 다른 주제들</h5>
+
  
−
* [[데데킨트 에타함수]]<br>
+
−
* [[코탄젠트]]<br>
 
  
−
 
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==사전 형태의 자료==
−
 
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
 
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
 
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_sum
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
 
* http://mathworld.wolfram.com/DedekindSum.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/DedekindSum.html
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
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==관련도서==
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
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* Matthias Beck and Sinai Robins [http://math.sfsu.edu/beck/ccd.html Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra], Springer, 2007
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* H. Rademacher and E. Grosswald, Dedekind Sums, The Carus Mathematical Monographs
  
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* [http://math.sfsu.edu/beck/ccd.html Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra]<br>
 
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**  Matthias Beck and Sinai Robins, Springer, 2007<br>
 
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*  Dedekind Sums, The Carus Mathematical Monographs<br>
 
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**  H. Rademacher and E. Grosswald<br>
 
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*  도서내검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
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*  도서검색<br>
 
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=dedekind+sums
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Grosswald, Emil. ‘Dedekind-Rademacher Sums’. The American Mathematical Monthly 78, no. 6 (1 June 1971): 639–44. doi:10.2307/2316571.
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5>
 
  
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* [http://arxiv.org/abs/math.NT/0112077 Dedekind cotangent sums]<br>
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==관련논문==
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** Matthias Beck, Acta Arithmetica 109, no.2 (2003), 109-130   
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* Genki Shibukawa, New trigonometric identities and reciprocity laws of generalized Dedekind sums, http://arxiv.org/abs/1409.2451v4
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* [http://www.jstor.org/stable/2316571?&Search=yes&term=Emil&term=Grosswald,&term=,&term=%22Dedekind-Rademacher+sums%22&list=hide&searchUri=/action/doBasicSearch%3FQuery%3DEmil%2BGrosswald%252C%2B%2522%2BDedekind-Rademacher%2Bsums%2B%2522%252C%26x%3D0%26y%3D0%26wc%3Don&item=1&ttl=3&returnArticleService=showArticle Dedekind-Rademacher Sums]<br>
+
* Rassias, Michael Th, and László Tóth. “Trigonometric Representations of Generalized Dedekind and Hardy Sums via the Discrete Fourier Transform.” arXiv:1512.01466 [math], December 4, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.01466.
−
** Emil Grosswald, The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 6 (Jun. - Jul., 1971), pp. 639-644
+
* Rassias, Michael Th. “A Cotangent Sum Related to Zeros of the Estermann Zeta Function.” arXiv:1512.04711 [math], December 15, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.04711.
−
* [http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.nmj/1118797877&page=record The reciprocity of Dedekind sums and the factor set for the universal covering group of] <math>{\rm SL}(2,\,R)</math><br>
+
* Burrin, Claire. “Generalized Dedekind Sums and Equidistribution Mod 1.” arXiv:1509.04429 [math], September 15, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.04429.
−
** Tetsuya Asai, Source: Nagoya Math. J. Volume 37 (1970), 67-80.
+
* Dowker, J. S. “On Sums of Powers of Cosecs.” arXiv:1507.01848 [hep-Th], July 7, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.01848.
−
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
+
* Tsukerman, Emmanuel. “A Generalization of Zolotarev’s Lemma and Equality of Dedekind Sums Mod <math>8 \mathbb{Z}</math>.” arXiv:1501.03544 [math], January 14, 2015. http://arxiv.org/abs/1501.03544.
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_sum
+
* Maier, Helmut, and Michael Th Rassias. “The Order of Magnitude for Moments for Certain Cotangent Sums.” arXiv:1412.1512 [math], December 3, 2014. http://arxiv.org/abs/1412.1512.
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=sawtooth+function<br>  <br>
+
* Shibukawa, Genki. “New Trigonometric Identities and Reciprocity Laws of Generalized Dedekind Sums.” arXiv:1409.2451 [math], September 8, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.2451.
 +
* Beck, Matthias. ‘Dedekind Cotangent Sums’. arXiv:math/0112077, 7 December 2001. http://arxiv.org/abs/math/0112077.
 +
* Gunnells, Paul E., and Robert Sczech. ‘Evaluation of Dedekind Sums, Eisenstein Cocycles, and Special Values of L-Functions’. Duke Mathematical Journal 118, no. 2 (1 June 2003): 229–60. doi:10.1215/S0012-7094-03-11822-0.
 +
* Asai, Tetsuya. ‘The Reciprocity of Dedekind Sums and the Factor Set for the Universal Covering Group of <math>{\rm SL}(2,\,R)</math>’. Nagoya Mathematical Journal 37 (1970): 67–80. http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118797877
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">블로그</h5>
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[[분류:정수론]]
  
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2463775 Q2463775]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'dedekind'}, {'LEMMA': 'sum'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:02 기준 최신판

개요



정의

  • 다음과 같이 sawtooth 함수를 정의하자\[\left((x)\right)= \begin{cases} x-\lfloor x\rfloor - 1/2 & \mbox{ if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{ if } x\in\mathbb{Z} \end{cases}\]

여기서 \(\lfloor x\rfloor\)는 \(x\)이하의 최대정수함수 (가우스함수)

  • 그래프는 다음과 같다

데데킨트 합1.png

  • 예\[((0.8))=0.8-0-0.5=0.3\]\[((-0.2))=-0.2-(-1)-0.5=0.3\]
  • 서로 소인 두 정수\(h, k\,(k>0)\)에 대하여 데데킨트 합 \(s(h,k)\)은 다음과 같이 정의됨\[s(h,k)=\sum_{n\mod k} \left( \left( \frac{n}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)\]\[s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k} \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)\]



코탄젠트합으로서의 표현

  • 서로 소인 두 정수\(h,k\,(k>0)\)에 대하여 다음 등식이 성립함

\[ s(h,k)=\frac{1}{4k}\sum_{n=1}^{k-1} \cot \left( \frac{\pi n}{k} \right) \cot \left( \frac{\pi nh}{k} \right) \]



상호법칙

  • (정리) 데데킨트 서로 소인 양의 정수 \(c\)와 \(d\)에 대하여 다음이 성립한다

\[s(d,c)+s(c,d) =\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)-\frac{1}{4}\]


(증명)

\(F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz\)

네 점 \(\pm iM, 1+\pm iM\)을 꼭지점으로 갖는 사각형을 조금 수정하여 0은 포함하고, 1은 빠지도록 하는 폐곡선 \(\Gamma\)에 대한 적분을 사용한다.

\(\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i\)이므로, \(\lim_{M\to \infty}F(x+iM)=-i\) 임을 확인하자.

\(\int_{\Gamma}F(z)dz\) 는 \(M\)에 의존하지 않으므로, \(\int_{\Gamma}F(z)dz = \lim_{M\to\infty}\int_{\Gamma}F(z)dz=-2i\)을 얻는다.

따라서 \(\Gamma\) 내부에 있는 유수의 합 \(S\)는 \(-\frac{1}{\pi}\) 가 된다.


폴은 다음과 같은 점에서 발생한다.

  • \(z=0\)
  • \(z=\lambda/c\,, \lambda=1,2,\cdots, c-1\)
  • \(z=\mu/d\,, \mu=1,2,\cdots, d-1\)

\(z=\lambda/c\) 에서의 유수는 \(\frac{1}{\pi c}\cot \frac{\pi \lambda}{c}\cot\frac{\pi d\lambda}{c}\)

\(z=\mu/c\) 에서의 유수는 \(\frac{1}{\pi d}\cot \frac{\pi \mu}{d}\cot\frac{\pi c\mu}{d}\)


코탄젠트의 급수전개를 사용하여 \(z=0\)에서의 유수를 구하자. \[F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)\]

따라서 \(z=0\)에서의 유수는 \(-\frac{1}{3\pi}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{cd}+\frac{c}{d}\right)\) 이다.


\(S=\frac{4}{\pi}[-\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)+s(d,c)+s(c,d)]=-\frac{1}{\pi}\) 를 얻는다. ■



일반화

  • \(p\geq 1\)이고, \(q,r\)은 \(p\)와 서로 소인 정수

\[ \begin{align} S(p;q,r)&=\sum_{k=1}^{p-1}\left( \left( \frac{qk}{p} \right) \right) \left( \left( \frac{rk}{p} \right) \right) \\ &=\frac{1}{4p}\sum_{k=1}^{p-1} \cot \left( \frac{\pi qk}{p} \right) \cot \left( \frac{\pi rk}{p} \right) \end{align} \]

  • 라데마커 상호법칙 : 서로 소인 정수 \(p,q,r\geq 1\)에 대하여, 다음이 성립한다

\[ S(p;q,r)+S(q;r,p)+S(r;p,q)=\frac{ \left(p^2+q^2+r^2-3 p q r\right)}{12 p q r} \]


h,k가 작은 경우 데데킨트합의 목록

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} h & k & s(h,k) & s(k,h) & s(h,k)+s(k,h) & \frac{1}{12}\left(\frac{k}{h}+\frac{h}{k}+\frac{1}{h k}\right)-\frac{1}{4} \\ \hline 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & \frac{1}{18} & 0 & \frac{1}{18} & \frac{1}{18} \\ 2 & 3 & -\frac{1}{18} & 0 & -\frac{1}{18} & -\frac{1}{18} \\ 1 & 4 & \frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\ 3 & 4 & -\frac{1}{8} & \frac{1}{18} & -\frac{5}{72} & -\frac{5}{72} \\ 1 & 5 & \frac{1}{5} & 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & -\frac{1}{18} & -\frac{1}{18} & -\frac{1}{18} \\ 4 & 5 & -\frac{1}{5} & \frac{1}{8} & -\frac{3}{40} & -\frac{3}{40} \\ 1 & 6 & \frac{5}{18} & 0 & \frac{5}{18} & \frac{5}{18} \\ 5 & 6 & -\frac{5}{18} & \frac{1}{5} & -\frac{7}{90} & -\frac{7}{90} \\ 1 & 7 & \frac{5}{14} & 0 & \frac{5}{14} & \frac{5}{14} \\ 2 & 7 & \frac{1}{14} & 0 & \frac{1}{14} & \frac{1}{14} \\ 3 & 7 & -\frac{1}{14} & \frac{1}{18} & -\frac{1}{63} & -\frac{1}{63} \\ 4 & 7 & \frac{1}{14} & -\frac{1}{8} & -\frac{3}{56} & -\frac{3}{56} \\ 5 & 7 & -\frac{1}{14} & 0 & -\frac{1}{14} & -\frac{1}{14} \\ 6 & 7 & -\frac{5}{14} & \frac{5}{18} & -\frac{5}{63} & -\frac{5}{63} \\ 1 & 8 & \frac{7}{16} & 0 & \frac{7}{16} & \frac{7}{16} \\ 3 & 8 & \frac{1}{16} & -\frac{1}{18} & \frac{1}{144} & \frac{1}{144} \\ 5 & 8 & -\frac{1}{16} & 0 & -\frac{1}{16} & -\frac{1}{16} \\ 7 & 8 & -\frac{7}{16} & \frac{5}{14} & -\frac{9}{112} & -\frac{9}{112} \\ 1 & 9 & \frac{14}{27} & 0 & \frac{14}{27} & \frac{14}{27} \\ 2 & 9 & \frac{4}{27} & 0 & \frac{4}{27} & \frac{4}{27} \\ 4 & 9 & -\frac{4}{27} & \frac{1}{8} & -\frac{5}{216} & -\frac{5}{216} \\ 5 & 9 & \frac{4}{27} & -\frac{1}{5} & -\frac{7}{135} & -\frac{7}{135} \\ 7 & 9 & -\frac{4}{27} & \frac{1}{14} & -\frac{29}{378} & -\frac{29}{378} \\ 8 & 9 & -\frac{14}{27} & \frac{7}{16} & -\frac{35}{432} & -\frac{35}{432} \\ 1 & 10 & \frac{3}{5} & 0 & \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \\ 3 & 10 & 0 & \frac{1}{18} & \frac{1}{18} & \frac{1}{18} \\ 7 & 10 & 0 & -\frac{1}{14} & -\frac{1}{14} & -\frac{1}{14} \\ 9 & 10 & -\frac{3}{5} & \frac{14}{27} & -\frac{11}{135} & -\frac{11}{135} \\ \end{array} \]


역사



관련된 항목들




매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료



관련도서



리뷰, 에세이, 강의노트

  • Grosswald, Emil. ‘Dedekind-Rademacher Sums’. The American Mathematical Monthly 78, no. 6 (1 June 1971): 639–44. doi:10.2307/2316571.


관련논문

  • Genki Shibukawa, New trigonometric identities and reciprocity laws of generalized Dedekind sums, http://arxiv.org/abs/1409.2451v4
  • Rassias, Michael Th, and László Tóth. “Trigonometric Representations of Generalized Dedekind and Hardy Sums via the Discrete Fourier Transform.” arXiv:1512.01466 [math], December 4, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.01466.
  • Rassias, Michael Th. “A Cotangent Sum Related to Zeros of the Estermann Zeta Function.” arXiv:1512.04711 [math], December 15, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.04711.
  • Burrin, Claire. “Generalized Dedekind Sums and Equidistribution Mod 1.” arXiv:1509.04429 [math], September 15, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.04429.
  • Dowker, J. S. “On Sums of Powers of Cosecs.” arXiv:1507.01848 [hep-Th], July 7, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.01848.
  • Tsukerman, Emmanuel. “A Generalization of Zolotarev’s Lemma and Equality of Dedekind Sums Mod \(8 \mathbb{Z}\).” arXiv:1501.03544 [math], January 14, 2015. http://arxiv.org/abs/1501.03544.
  • Maier, Helmut, and Michael Th Rassias. “The Order of Magnitude for Moments for Certain Cotangent Sums.” arXiv:1412.1512 [math], December 3, 2014. http://arxiv.org/abs/1412.1512.
  • Shibukawa, Genki. “New Trigonometric Identities and Reciprocity Laws of Generalized Dedekind Sums.” arXiv:1409.2451 [math], September 8, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.2451.
  • Beck, Matthias. ‘Dedekind Cotangent Sums’. arXiv:math/0112077, 7 December 2001. http://arxiv.org/abs/math/0112077.
  • Gunnells, Paul E., and Robert Sczech. ‘Evaluation of Dedekind Sums, Eisenstein Cocycles, and Special Values of L-Functions’. Duke Mathematical Journal 118, no. 2 (1 June 2003): 229–60. doi:10.1215/S0012-7094-03-11822-0.
  • Asai, Tetsuya. ‘The Reciprocity of Dedekind Sums and the Factor Set for the Universal Covering Group of \({\rm SL}(2,\,R)\)’. Nagoya Mathematical Journal 37 (1970): 67–80. http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118797877

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위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'dedekind'}, {'LEMMA': 'sum'}]
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