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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">상호법칙</h5>
 
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">상호법칙</h5>
  
(정리) 데데킨트<br> 서로 소인 양의 정수 <math>b</math>와 <math>c</math>에 대하여 다음이 성립한다.
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(정리) 데데킨트<br> 서로 소인 양의 정수 <math>d</math>와 <math>c</math>에 대하여 다음이 성립한다.
  
<math>s(b,c)+s(c,b) =\frac{1}{12}\left(\frac{b}{c}+\frac{1}{bc}+\frac{c}{b}\right)-\frac{1}{4}</math>
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<math>s(d,c)+s(c,d) =\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)-\frac{1}{4}</math>
  
 
 
 
 
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<math>F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz</math>
 
<math>F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz</math>
  
사각형 <math>\pm iM, 1+\pm iM</math> 에서 0은 포함하고, 1은 빠지도록 하는 컨투어 적분
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사각형 <math>\pm iM, 1+\pm iM</math> 을 조금 수정하여 0은 포함하고, 1은 빠지도록 하는 컨투어 적분을 사용한다.
  
[[코탄젠트]]의 
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<math>z=0</math>
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<math>z=0</math>에서의 유수를 구하기 위해 [[코탄젠트]]의 <math>z=0</math>에서의 급수전개를 이용
  
 
<math>F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)</math>
 
<math>F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)</math>
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0에서의 유수는 <math>-\frac{1}{3\pi}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{cd}+\frac{c}{d}\right)</math> 이다. 
  
 
 
 
 
 
<math>\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots</math>
 
  
 
 
 
 

2009년 8월 21일 (금) 10:34 판

간단한 소개
  • 다음과 같이 sawtooth 함수를 정의하자
    \(\left((x)\right)= \begin{cases} x-\lfloor x\rfloor - 1/2 & \mbox{ if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{ if } x\in\mathbb{Z} \end{cases}\)
    [/pages/3985465/attachments/1997179 Discontinuous-function-and-Fourier.gif]

 

  • 서로 소인 두 정수 \(h, k>0\)에 대하여 데데킨트 합 \(s(h,k)\)은 다음과 같이 정의됨
    \(s(h,k)=\sum_{n\mod k} \left( \left( \frac{n}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)\)

 

  • 서로 소인 두 정수 \(b,c>0\)에 대하여 다음 등식이 성립함
    \(s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1} \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)\)

 


상호법칙

(정리) 데데킨트
서로 소인 양의 정수 \(d\)와 \(c\)에 대하여 다음이 성립한다.

\(s(d,c)+s(c,d) =\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)-\frac{1}{4}\)

 

 

증명

\(F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz\)

사각형 \(\pm iM, 1+\pm iM\) 을 조금 수정하여 0은 포함하고, 1은 빠지도록 하는 컨투어 적분을 사용한다.

\(z=0\)

\(z=0\)에서의 유수를 구하기 위해 코탄젠트의 \(z=0\)에서의 급수전개를 이용

\(F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)\)

0에서의 유수는 \(-\frac{1}{3\pi}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{cd}+\frac{c}{d}\right)\) 이다. 

 

 

 

 

일반화

\(D(a,b;c)=\sum_{n\mod c} \left( \left( \frac{an}{c} \right) \right) \left( \left( \frac{bn}{c} \right) \right)\)

 

 

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