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+ | <math>z=0</math>에서의 유수를 구하기 위해 [[코탄젠트]]의 <math>z=0</math>에서의 급수전개를 이용 | ||
<math>F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)</math> | <math>F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)</math> | ||
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+ | 0에서의 유수는 <math>-\frac{1}{3\pi}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{cd}+\frac{c}{d}\right)</math> 이다. | ||
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2009년 8월 21일 (금) 10:34 판
간단한 소개
- 다음과 같이 sawtooth 함수를 정의하자
\(\left((x)\right)= \begin{cases} x-\lfloor x\rfloor - 1/2 & \mbox{ if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{ if } x\in\mathbb{Z} \end{cases}\)
[/pages/3985465/attachments/1997179 Discontinuous-function-and-Fourier.gif]
- 서로 소인 두 정수 \(h, k>0\)에 대하여 데데킨트 합 \(s(h,k)\)은 다음과 같이 정의됨
\(s(h,k)=\sum_{n\mod k} \left( \left( \frac{n}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)\)
- 서로 소인 두 정수 \(b,c>0\)에 대하여 다음 등식이 성립함
\(s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1} \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)\)
상호법칙
(정리) 데데킨트
서로 소인 양의 정수 \(d\)와 \(c\)에 대하여 다음이 성립한다.
\(s(d,c)+s(c,d) =\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)-\frac{1}{4}\)
증명
\(F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz\)
사각형 \(\pm iM, 1+\pm iM\) 을 조금 수정하여 0은 포함하고, 1은 빠지도록 하는 컨투어 적분을 사용한다.
\(z=0\)
\(z=0\)에서의 유수를 구하기 위해 코탄젠트의 \(z=0\)에서의 급수전개를 이용
\(F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)\)
0에서의 유수는 \(-\frac{1}{3\pi}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{cd}+\frac{c}{d}\right)\) 이다.
일반화
\(D(a,b;c)=\sum_{n\mod c} \left( \left( \frac{an}{c} \right) \right) \left( \left( \frac{bn}{c} \right) \right)\)
상위 주제
재미있는 사실
역사
관련된 다른 주제들
관련도서 및 추천도서
- Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra
- Matthias Beck and Sinai Robins, Springer, 2007
- Matthias Beck and Sinai Robins, Springer, 2007
- Dedekind Sums, The Carus Mathematical Monographs
- H. Rademacher and E. Grosswald
- H. Rademacher and E. Grosswald
- 도서내검색
- 도서검색
수학용어번역
참고할만한 자료
- Dedekind cotangent sums
- Matthias Beck, Acta Arithmetica 109, no.2 (2003), 109-130
- "Dedekind-Rademacher+sums"&list=hide&searchUri=/action/doBasicSearch%3FQuery%3DEmil%2BGrosswald%252C%2B%2522%2BDedekind-Rademacher%2Bsums%2B%2522%252C%26x%3D0%26y%3D0%26wc%3Don&item=1&ttl=3&returnArticleService=showArticle Dedekind-Rademacher Sums
- Emil Grosswald, The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 6 (Jun. - Jul., 1971), pp. 639-644
- The reciprocity of Dedekind sums and the factor set for the universal covering group of \({\rm SL}(2,\,R)\)
- Tetsuya Asai, Source: Nagoya Math. J. Volume 37 (1970), 67-80.
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_sum
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=sawtooth+function
- 네이버 오늘의과학
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
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