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− | * 다음과 같이 sawtooth 함수를 정의하자<br><math>\left((x)\right)= \begin{cases} x-\lfloor x\rfloor - 1/2 & \mbox{ if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{ if } x\in\mathbb{Z} \end{cases}</math><br> | + | * 다음과 같이 sawtooth 함수를 정의하자<br><math>\left((x)\right)= \begin{cases} x-\lfloor x\rfloor - 1/2 & \mbox{ if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{ if } x\in\mathbb{Z} \end{cases}</math><br> |
− | + | * 예<br><math>((0.8))=0.8-0-0.5=0.3</math><br><math>((-0.2))=-0.2-(-1)-0.5=0.3</math><br> | |
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* 서로 소인 두 정수 <math>h, k>0</math>에 대하여 데데킨트 합 <math>s(h,k)</math>은 다음과 같이 정의됨<br><math>s(h,k)=\sum_{n\mod k} \left( \left( \frac{n}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)</math><br> | * 서로 소인 두 정수 <math>h, k>0</math>에 대하여 데데킨트 합 <math>s(h,k)</math>은 다음과 같이 정의됨<br><math>s(h,k)=\sum_{n\mod k} \left( \left( \frac{n}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)</math><br> | ||
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− | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">상호법칙</h5> |
(정리) 데데킨트<br> 서로 소인 양의 정수 <math>d</math>와 <math>c</math>에 대하여 다음이 성립한다. | (정리) 데데킨트<br> 서로 소인 양의 정수 <math>d</math>와 <math>c</math>에 대하여 다음이 성립한다. | ||
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− | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">증명</h5> |
<math>F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz</math> | <math>F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz</math> | ||
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− | <h5 style=" | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">일반화</h5> |
<math>D(a,b;c)=\sum_{n\mod c} \left( \left( \frac{an}{c} \right) \right) \left( \left( \frac{bn}{c} \right) \right)</math> | <math>D(a,b;c)=\sum_{n\mod c} \left( \left( \frac{an}{c} \right) \right) \left( \left( \frac{bn}{c} \right) \right)</math> | ||
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− | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5> | |
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br> | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br> | ||
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* [[데데킨트 에타함수]]<br> | * [[데데킨트 에타함수]]<br> | ||
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* [http://math.sfsu.edu/beck/ccd.html Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra]<br> | * [http://math.sfsu.edu/beck/ccd.html Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra]<br> | ||
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | ||
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr= | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr= | ||
− | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid= | + | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판] |
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* [http://arxiv.org/abs/math.NT/0112077 Dedekind cotangent sums]<br> | * [http://arxiv.org/abs/math.NT/0112077 Dedekind cotangent sums]<br> | ||
** Matthias Beck, Acta Arithmetica 109, no.2 (2003), 109-130 | ** Matthias Beck, Acta Arithmetica 109, no.2 (2003), 109-130 | ||
− | + | * <br> | |
− | * [http://www.jstor.org/stable/2316571?&Search=yes&term=Emil&term=Grosswald,&term=,&term= | + | * [http://www.jstor.org/stable/2316571?&Search=yes&term=Emil&term=Grosswald,&term=,&term=%22Dedekind-Rademacher+sums%22&list=hide&searchUri=/action/doBasicSearch%3FQuery%3DEmil%2BGrosswald%252C%2B%2522%2BDedekind-Rademacher%2Bsums%2B%2522%252C%26x%3D0%26y%3D0%26wc%3Don&item=1&ttl=3&returnArticleService=showArticle Dedekind-Rademacher Sums]<br> |
** Emil Grosswald, The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 6 (Jun. - Jul., 1971), pp. 639-644 | ** Emil Grosswald, The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 6 (Jun. - Jul., 1971), pp. 639-644 | ||
* [http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.nmj/1118797877&page=record The reciprocity of Dedekind sums and the factor set for the universal covering group of] <math>{\rm SL}(2,\,R)</math><br> | * [http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.nmj/1118797877&page=record The reciprocity of Dedekind sums and the factor set for the universal covering group of] <math>{\rm SL}(2,\,R)</math><br> | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_sum | * http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_sum | ||
− | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=sawtooth+function | + | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=sawtooth+function<br>[http://navercast.naver.com/science/list ]<br> |
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* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
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2009년 12월 10일 (목) 05:08 판
간단한 소개
- 다음과 같이 sawtooth 함수를 정의하자
\(\left((x)\right)= \begin{cases} x-\lfloor x\rfloor - 1/2 & \mbox{ if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{ if } x\in\mathbb{Z} \end{cases}\) - 예
\(((0.8))=0.8-0-0.5=0.3\)
\(((-0.2))=-0.2-(-1)-0.5=0.3\)
- 서로 소인 두 정수 \(h, k>0\)에 대하여 데데킨트 합 \(s(h,k)\)은 다음과 같이 정의됨
\(s(h,k)=\sum_{n\mod k} \left( \left( \frac{n}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)\)
- 서로 소인 두 정수 \(b,c>0\)에 대하여 다음 등식이 성립함
\(s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1} \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)\)
상호법칙
(정리) 데데킨트
서로 소인 양의 정수 \(d\)와 \(c\)에 대하여 다음이 성립한다.
\(s(d,c)+s(c,d) =\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)-\frac{1}{4}\)
증명
\(F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz\)
사각형 \(\pm iM, 1+\pm iM\) 을 조금 수정하여 0은 포함하고, 1은 빠지도록 하는 컨투어 \(\Gamma\)에 대한 적분을 사용한다.
\(\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i\)이므로, \(\lim_{M\to \infty}F(x+iM)=-i\) 임을 확인하자.
\(\int_{\Gamma}F(z)dz\) 는 \(M\)에 의존하지 않으므로, \(\int_{\Gamma}F(z)dz = \lim_{M\to\infty}\int_{\Gamma}F(z)dz=-2i\)을 얻는다.
따라서 \(\Gamma\) 내부에 있는 유수의 합 \(S\)는 \(-\frac{1}{\pi}\) 가 된다.
폴은 다음과 같은 점에서 발생한다.
- \(z=0\)
- \(z=\lambda/c\,, \lambda=1,2,\cdots, c-1\)
- \(z=\mu/d\,, \mu=1,2,\cdots, d-1\)
\(z=\lambda/c\) 에서의 유수는 \(\frac{1}{\pi c}\cot \frac{\pi \lambda}{c}\cot\frac{\pi d\lambda}{c}\)
\(z=\mu/c\) 에서의 유수는 \(\frac{1}{\pi d}\cot \frac{\pi \mu}{c}\cot\frac{\pi d\mu}{c}\)
코탄젠트의 급수전개를 사용하여 \(z=0\)에서의 유수를 구하자.
\(F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)\)
따라서 \(z=0\)에서의 유수는 \(-\frac{1}{3\pi}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{cd}+\frac{c}{d}\right)\) 이다.
\(S=\frac{4}{\pi}[-\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)+s(d,c)+s(c,d)]=-\frac{1}{\pi}\) 를 얻는다. (증명끝)
일반화
\(D(a,b;c)=\sum_{n\mod c} \left( \left( \frac{an}{c} \right) \right) \left( \left( \frac{bn}{c} \right) \right)\)
재미있는 사실
역사
관련된 다른 주제들
관련도서 및 추천도서
- Computing the Continuous Discretely: Integer-Point Enumeration in Polyhedra
- Matthias Beck and Sinai Robins, Springer, 2007
- Matthias Beck and Sinai Robins, Springer, 2007
- Dedekind Sums, The Carus Mathematical Monographs
- H. Rademacher and E. Grosswald
- H. Rademacher and E. Grosswald
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수학용어번역
관련논문
- Dedekind cotangent sums
- Matthias Beck, Acta Arithmetica 109, no.2 (2003), 109-130
-
- Dedekind-Rademacher Sums
- Emil Grosswald, The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 6 (Jun. - Jul., 1971), pp. 639-644
- The reciprocity of Dedekind sums and the factor set for the universal covering group of \({\rm SL}(2,\,R)\)
- Tetsuya Asai, Source: Nagoya Math. J. Volume 37 (1970), 67-80.
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_sum
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=sawtooth+function
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관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
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