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2011년 7월 16일 (토) 08:53 판

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데데킨트 합

개요

데데킨트 에타함수의 모듈라 성질을 기술하기 위하여 도입

정의

다음과 같이 sawtooth 함수를 정의하자
\(\left((x)\right)= \begin{cases} x-\lfloor x\rfloor - 1/2 & \mbox{ if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{ if } x\in\mathbb{Z} \end{cases}\)
\(\lfloor x\rfloor\)는 \(x\)이하의 최대정수함수(가우스함수)
예
\(((0.8))=0.8-0-0.5=0.3\)
\(((-0.2))=-0.2-(-1)-0.5=0.3\)
서로 소인 두 정수\(h, k\,(k>0)\)에 대하여 데데킨트 합 \(s(h,k)\)은 다음과 같이 정의됨
\(s(h,k)=\sum_{n\mod k} \left( \left( \frac{n}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)\)
\(s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k} \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)\)

코탄젠트합으로서의 표현

서로 소인 두 정수\(b,c\,(c>0)\)에 대하여 다음 등식이 성립함
\(s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1} \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)\)

상호법칙

(정리) 데데킨트
서로 소인 양의 정수 \(d\)와 \(c\)에 대하여 다음이 성립한다.
\(s(d,c)+s(c,d) =\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)-\frac{1}{4}\)

(증명)

\(F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz\)

사각형 \(\pm iM, 1+\pm iM\) 을 조금 수정하여 0은 포함하고, 1은 빠지도록 하는 폐곡선 \(\Gamma\)에 대한 적분을 사용한다.

\(\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i\)이므로, \(\lim_{M\to \infty}F(x+iM)=-i\) 임을 확인하자.

\(\int_{\Gamma}F(z)dz\) 는 \(M\)에 의존하지 않으므로, \(\int_{\Gamma}F(z)dz = \lim_{M\to\infty}\int_{\Gamma}F(z)dz=-2i\)을 얻는다.

따라서 \(\Gamma\) 내부에 있는 유수의 합 \(S\)는 \(-\frac{1}{\pi}\) 가 된다.

폴은 다음과 같은 점에서 발생한다.

\(z=0\)
\(z=\lambda/c\,, \lambda=1,2,\cdots, c-1\)
\(z=\mu/d\,, \mu=1,2,\cdots, d-1\)

\(z=\lambda/c\) 에서의 유수는 \(\frac{1}{\pi c}\cot \frac{\pi \lambda}{c}\cot\frac{\pi d\lambda}{c}\)

\(z=\mu/c\) 에서의 유수는 \(\frac{1}{\pi d}\cot \frac{\pi \mu}{c}\cot\frac{\pi d\mu}{c}\)

코탄젠트의 급수전개를 사용하여 \(z=0\)에서의 유수를 구하자.

\(F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)\)

따라서 \(z=0\)에서의 유수는 \(-\frac{1}{3\pi}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{cd}+\frac{c}{d}\right)\) 이다.

\(S=\frac{4}{\pi}[-\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)+s(d,c)+s(c,d)]=-\frac{1}{\pi}\) 를 얻는다. ■

일반화

\(D(a,b;c)=\sum_{n\mod c} \left( \left( \frac{an}{c} \right) \right) \left( \left( \frac{bn}{c} \right) \right)\)

h,k가 작은 경우 데데킨트합의 목록

\(s(h,k)\)
s(1,1)=0
s(1,2)=0
s(1,3)=1/18
s(2,3)=-(1/18)
s(1,4)=1/8
s(3,4)=-(1/8)
s(1,5)=1/5
s(2,5)=0
s(3,5)=0
s(4,5)=-(1/5)
s(1,6)=5/18
s(5,6)=-(5/18)
s(1,7)=5/14
s(2,7)=1/14
s(3,7)=-(1/14)
s(4,7)=1/14
s(5,7)=-(1/14)
s(6,7)=-(5/14)
s(1,8)=7/16
s(3,8)=1/16
s(5,8)=-(1/16)
s(7,8)=-(7/16)
s(1,9)=14/27
s(2,9)=4/27
s(4,9)=-(4/27)
s(5,9)=4/27
s(7,9)=-(4/27)
s(8,9)=-(14/27)
s(1,10)=3/5
s(3,10)=0
s(7,10)=0
s(9,10)=-(3/5)
s(1,11)=15/22
s(2,11)=5/22
s(3,11)=3/22
s(4,11)=3/22
s(5,11)=-(5/22)
s(6,11)=5/22
s(7,11)=-(3/22)
s(8,11)=-(3/22)
s(9,11)=-(5/22)
s(10,11)=-(15/22)
s(1,12)=55/72
s(5,12)=-(1/72)
s(7,12)=1/72
s(11,12)=-(55/72)
s(1,13)=11/13
s(2,13)=4/13
s(3,13)=1/13
s(4,13)=-(1/13)
s(5,13)=0
s(6,13)=-(4/13)
s(7,13)=4/13
s(8,13)=0
s(9,13)=1/13
s(10,13)=-(1/13)
s(11,13)=-(4/13)
s(12,13)=-(11/13)
s(1,14)=13/14
s(3,14)=3/14
s(5,14)=3/14
s(9,14)=-(3/14)
s(11,14)=-(3/14)
s(13,14)=-(13/14)
s(1,15)=91/90
s(2,15)=7/18
s(4,15)=19/90
s(7,15)=-(7/18)
s(8,15)=7/18
s(11,15)=-(19/90)
s(13,15)=-(7/18)
s(14,15)=-(91/90)
s(1,16)=35/32
s(3,16)=5/32
s(5,16)=-(5/32)
s(7,16)=-(3/32)
s(9,16)=3/32
s(11,16)=5/32
s(13,16)=-(5/32)
s(15,16)=-(35/32)
s(1,17)=20/17
s(2,17)=8/17
s(3,17)=5/17
s(4,17)=0
s(5,17)=1/17
s(6,17)=5/17
s(7,17)=1/17
s(8,17)=-(8/17)
s(9,17)=8/17
s(10,17)=-(1/17)
s(11,17)=-(5/17)
s(12,17)=-(1/17)
s(13,17)=0
s(14,17)=-(5/17)
s(15,17)=-(8/17)
s(16,17)=-(20/17)
s(1,18)=34/27
s(5,18)=2/27
s(7,18)=-(2/27)
s(11,18)=2/27
s(13,18)=-(2/27)
s(17,18)=-(34/27)
s(1,19)=51/38
s(2,19)=21/38
s(3,19)=9/38
s(4,19)=11/38
s(5,19)=11/38
s(6,19)=-(9/38)
s(7,19)=3/38
s(8,19)=-(3/38)
s(9,19)=-(21/38)
s(10,19)=21/38
s(11,19)=3/38
s(12,19)=-(3/38)
s(13,19)=9/38
s(14,19)=-(11/38)
s(15,19)=-(11/38)
s(16,19)=-(9/38)
s(17,19)=-(21/38)
s(18,19)=-(51/38)
s(1,20)=57/40
s(3,20)=3/8
s(7,20)=3/8
s(9,20)=-(7/40)
s(11,20)=7/40
s(13,20)=-(3/8)
s(17,20)=-(3/8)
s(19,20)=-(57/40)

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 * [[데데킨트 에타함수]]<br>
 * [[코탄젠트]]<br>
+* [[왓슨 변환(Watson transform)]]<br>
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 ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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+* http://functions.wolfram.com/
+* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
+* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
+* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
+* [[매스매티카 파일 목록]]