데데킨트 합

개요

데데킨트 에타함수의 모듈라 성질을 기술하기 위하여 도입
코탄젠트 합으로 쓸 수 있다

정의

다음과 같이 sawtooth 함수를 정의하자\[\left((x)\right)= \begin{cases} x-\lfloor x\rfloor - 1/2 & \mbox{ if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{ if } x\in\mathbb{Z} \end{cases}\]

여기서 $\lfloor x\rfloor$는 $x$이하의 최대정수함수 (가우스함수)

그래프는 다음과 같다

예\[((0.8))=0.8-0-0.5=0.3\]\[((-0.2))=-0.2-(-1)-0.5=0.3\]
서로 소인 두 정수$h, k\,(k>0)$에 대하여 데데킨트 합 $s(h,k)$은 다음과 같이 정의됨\[s(h,k)=\sum_{n\mod k} \left( \left( \frac{n}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)\]\[s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k} \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)\]

코탄젠트합으로서의 표현

서로 소인 두 정수$b,c\,(c>0)$에 대하여 다음 등식이 성립함\[s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1} \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)\]

상호법칙

(정리) 데데킨트 서로 소인 양의 정수 $d$와 $c$에 대하여 다음이 성립한다.\[s(d,c)+s(c,d) =\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)-\frac{1}{4}\]

(증명)

$F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz$

네 점 $\pm iM, 1+\pm iM$을 꼭지점으로 갖는 사각형을 조금 수정하여 0은 포함하고, 1은 빠지도록 하는 폐곡선 $\Gamma$에 대한 적분을 사용한다.

$\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i$이므로, $\lim_{M\to \infty}F(x+iM)=-i$ 임을 확인하자.

$\int_{\Gamma}F(z)dz$ 는 $M$에 의존하지 않으므로, $\int_{\Gamma}F(z)dz = \lim_{M\to\infty}\int_{\Gamma}F(z)dz=-2i$을 얻는다.

따라서 $\Gamma$ 내부에 있는 유수의 합 $S$는 $-\frac{1}{\pi}$ 가 된다.

폴은 다음과 같은 점에서 발생한다.

$z=0$
$z=\lambda/c\,, \lambda=1,2,\cdots, c-1$
$z=\mu/d\,, \mu=1,2,\cdots, d-1$

$z=\lambda/c$ 에서의 유수는 $\frac{1}{\pi c}\cot \frac{\pi \lambda}{c}\cot\frac{\pi d\lambda}{c}$

$z=\mu/c$ 에서의 유수는 $\frac{1}{\pi d}\cot \frac{\pi \mu}{d}\cot\frac{\pi c\mu}{d}$

코탄젠트의 급수전개를 사용하여 $z=0$에서의 유수를 구하자. \[F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)\]

따라서 $z=0$에서의 유수는 $-\frac{1}{3\pi}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{cd}+\frac{c}{d}\right)$ 이다.

$S=\frac{4}{\pi}[-\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)+s(d,c)+s(c,d)]=-\frac{1}{\pi}$ 를 얻는다. ■

일반화

$D(a,b;c)=\sum_{n\mod c} \left( \left( \frac{an}{c} \right) \right) \left( \left( \frac{bn}{c} \right) \right)$

h,k가 작은 경우 데데킨트합의 목록

$$ \begin{array}{c|c|c} h & k & s(h,k) \\ \hline 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & \frac{1}{18} \\ 2 & 3 & -\frac{1}{18} \\ 1 & 4 & \frac{1}{8} \\ 3 & 4 & -\frac{1}{8} \\ 1 & 5 & \frac{1}{5} \\ 2 & 5 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ 4 & 5 & -\frac{1}{5} \\ 1 & 6 & \frac{5}{18} \\ 5 & 6 & -\frac{5}{18} \\ 1 & 7 & \frac{5}{14} \\ 2 & 7 & \frac{1}{14} \\ 3 & 7 & -\frac{1}{14} \\ 4 & 7 & \frac{1}{14} \\ 5 & 7 & -\frac{1}{14} \\ 6 & 7 & -\frac{5}{14} \\ 1 & 8 & \frac{7}{16} \\ 3 & 8 & \frac{1}{16} \\ 5 & 8 & -\frac{1}{16} \\ 7 & 8 & -\frac{7}{16} \\ 1 & 9 & \frac{14}{27} \\ 2 & 9 & \frac{4}{27} \\ 4 & 9 & -\frac{4}{27} \\ 5 & 9 & \frac{4}{27} \\ 7 & 9 & -\frac{4}{27} \\ 8 & 9 & -\frac{14}{27} \\ 1 & 10 & \frac{3}{5} \\ 3 & 10 & 0 \\ 7 & 10 & 0 \\ 9 & 10 & -\frac{3}{5} \\ \end{array} $$

역사

수학사 연표

데데킨트 합

목차

개요

정의

코탄젠트합으로서의 표현

상호법칙

일반화

h,k가 작은 경우 데데킨트합의 목록

역사

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

관련도서

관련논문

둘러보기 메뉴

검색