데데킨트 합

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 1월 13일 (수) 23:21 판
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개요

 

 

정의
  • 다음과 같이 sawtooth 함수를 정의하자
    \(\left((x)\right)= \begin{cases} x-\lfloor x\rfloor - 1/2 & \mbox{ if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{ if } x\in\mathbb{Z} \end{cases}\)
    \(\lfloor x\rfloor\)는 \(x\)이하의 최대정수함수(가우스함수)
  • 예
    \(((0.8))=0.8-0-0.5=0.3\)
    \(((-0.2))=-0.2-(-1)-0.5=0.3\)
  • 서로 소인 두 정수\(h, k\,(k>0)\)에 대하여 데데킨트 합 \(s(h,k)\)은 다음과 같이 정의됨
    \(s(h,k)=\sum_{n\mod k} \left( \left( \frac{n}{k} \right) \right) \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)\)
    \(s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k} \left( \left( \frac{hn}{k} \right) \right)\)
     

 

 

코탄젠트합으로서의 표현
  • 서로 소인 두 정수\(b,c\,(c>0)\)에 대하여 다음 등식이 성립함
    \(s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1} \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)\)

 

 

상호법칙
  • (정리) 데데킨트
    서로 소인 양의 정수 \(d\)와 \(c\)에 대하여 다음이 성립한다.
    \(s(d,c)+s(c,d) =\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)-\frac{1}{4}\)

 

(증명)

\(F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz\)

사각형 \(\pm iM, 1+\pm iM\) 을 조금 수정하여 0은 포함하고, 1은 빠지도록 하는 컨투어 \(\Gamma\)에 대한 적분을 사용한다.

\(\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i\)이므로, \(\lim_{M\to \infty}F(x+iM)=-i\) 임을 확인하자.

\(\int_{\Gamma}F(z)dz\) 는 \(M\)에 의존하지 않으므로, \(\int_{\Gamma}F(z)dz = \lim_{M\to\infty}\int_{\Gamma}F(z)dz=-2i\)을 얻는다.

따라서 \(\Gamma\) 내부에 있는 유수의 합 \(S\)는 \(-\frac{1}{\pi}\) 가 된다.

 

폴은 다음과 같은 점에서 발생한다.

  • \(z=0\)
  • \(z=\lambda/c\,, \lambda=1,2,\cdots, c-1\)
  • \(z=\mu/d\,, \mu=1,2,\cdots, d-1\)

\(z=\lambda/c\) 에서의 유수는 \(\frac{1}{\pi c}\cot \frac{\pi \lambda}{c}\cot\frac{\pi d\lambda}{c}\)

\(z=\mu/c\) 에서의 유수는 \(\frac{1}{\pi d}\cot \frac{\pi \mu}{c}\cot\frac{\pi d\mu}{c}\)

 

 코탄젠트의 급수전개를 사용하여 \(z=0\)에서의 유수를 구하자.

\(F(z)=\cot \pi z\, \cot \pi cz\, \cot \pi dz =\frac{1}{\pi^3 cd z^3}(1-\frac{\pi^2z^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2d^2}{3}-\cdots)(1-\frac{\pi^2z^2c^2}{3}-\cdots)\)

따라서 \(z=0\)에서의 유수는 \(-\frac{1}{3\pi}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{cd}+\frac{c}{d}\right)\) 이다. 

 

\(S=\frac{4}{\pi}[-\frac{1}{12}\left(\frac{d}{c}+\frac{1}{dc}+\frac{c}{d}\right)+s(d,c)+s(c,d)]=-\frac{1}{\pi}\) 를 얻는다. ■

 

 

일반화

\(D(a,b;c)=\sum_{n\mod c} \left( \left( \frac{an}{c} \right) \right) \left( \left( \frac{bn}{c} \right) \right)\)

 

 

h,k가 작은 경우 데데킨트합의 목록
  • \(s(h,k)\)
    \(\left( \begin{array}{cccc} s( & 1,1 & )= & 0 \\ s( & 1,2 & )= & 0 \\ s( & 1,3 & )= & \frac{1}{18} \\ s( & 2,3 & )= & -\frac{1}{18} \\ s( & 1,4 & )= & \frac{1}{8} \\ s( & 3,4 & )= & -\frac{1}{8} \\ s( & 1,5 & )= & \frac{1}{5} \\ s( & 2,5 & )= & 0 \\ s( & 3,5 & )= & 0 \\ s( & 4,5 & )= & -\frac{1}{5} \\ s( & 1,6 & )= & \frac{5}{18} \\ s( & 5,6 & )= & -\frac{5}{18} \\ s( & 1,7 & )= & \frac{5}{14} \\ s( & 2,7 & )= & \frac{1}{14} \\ s( & 3,7 & )= & -\frac{1}{14} \\ s( & 4,7 & )= & \frac{1}{14} \\ s( & 5,7 & )= & -\frac{1}{14} \\ s( & 6,7 & )= & -\frac{5}{14} \\ s( & 1,8 & )= & \frac{7}{16} \\ s( & 3,8 & )= & \frac{1}{16} \\ s( & 5,8 & )= & -\frac{1}{16} \\ s( & 7,8 & )= & -\frac{7}{16} \\ s( & 1,9 & )= & \frac{14}{27} \\ s( & 2,9 & )= & \frac{4}{27} \\ s( & 4,9 & )= & -\frac{4}{27} \\ s( & 5,9 & )= & \frac{4}{27} \\ s( & 7,9 & )= & -\frac{4}{27} \\ s( & 8,9 & )= & -\frac{14}{27} \\ s( & 1,10 & )= & \frac{3}{5} \\ s( & 3,10 & )= & 0 \\ s( & 7,10 & )= & 0 \\ s( & 9,10 & )= & -\frac{3}{5} \\ s( & 1,11 & )= & \frac{15}{22} \\ s( & 2,11 & )= & \frac{5}{22} \\ s( & 3,11 & )= & \frac{3}{22} \\ s( & 4,11 & )= & \frac{3}{22} \\ s( & 5,11 & )= & -\frac{5}{22} \\ s( & 6,11 & )= & \frac{5}{22} \\ s( & 7,11 & )= & -\frac{3}{22} \\ s( & 8,11 & )= & -\frac{3}{22} \\ s( & 9,11 & )= & -\frac{5}{22} \\ s( & 10,11 & )= & -\frac{15}{22} \\ s( & 1,12 & )= & \frac{55}{72} \\ s( & 5,12 & )= & -\frac{1}{72} \\ s( & 7,12 & )= & \frac{1}{72} \\ s( & 11,12 & )= & -\frac{55}{72} \\ s( & 1,13 & )= & \frac{11}{13} \\ s( & 2,13 & )= & \frac{4}{13} \\ s( & 3,13 & )= & \frac{1}{13} \\ s( & 4,13 & )= & -\frac{1}{13} \\ s( & 5,13 & )= & 0 \\ s( & 6,13 & )= & -\frac{4}{13} \\ s( & 7,13 & )= & \frac{4}{13} \\ s( & 8,13 & )= & 0 \\ s( & 9,13 & )= & \frac{1}{13} \\ s( & 10,13 & )= & -\frac{1}{13} \\ s( & 11,13 & )= & -\frac{4}{13} \\ s( & 12,13 & )= & -\frac{11}{13} \\ s( & 1,14 & )= & \frac{13}{14} \\ s( & 3,14 & )= & \frac{3}{14} \\ s( & 5,14 & )= & \frac{3}{14} \\ s( & 9,14 & )= & -\frac{3}{14} \\ s( & 11,14 & )= & -\frac{3}{14} \\ s( & 13,14 & )= & -\frac{13}{14} \\ s( & 1,15 & )= & \frac{91}{90} \\ s( & 2,15 & )= & \frac{7}{18} \\ s( & 4,15 & )= & \frac{19}{90} \\ s( & 7,15 & )= & -\frac{7}{18} \\ s( & 8,15 & )= & \frac{7}{18} \\ s( & 11,15 & )= & -\frac{19}{90} \\ s( & 13,15 & )= & -\frac{7}{18} \\ s( & 14,15 & )= & -\frac{91}{90} \\ s( & 1,16 & )= & \frac{35}{32} \\ s( & 3,16 & )= & \frac{5}{32} \\ s( & 5,16 & )= & -\frac{5}{32} \\ s( & 7,16 & )= & -\frac{3}{32} \\ s( & 9,16 & )= & \frac{3}{32} \\ s( & 11,16 & )= & \frac{5}{32} \\ s( & 13,16 & )= & -\frac{5}{32} \\ s( & 15,16 & )= & -\frac{35}{32} \\ s( & 1,17 & )= & \frac{20}{17} \\ s( & 2,17 & )= & \frac{8}{17} \\ s( & 3,17 & )= & \frac{5}{17} \\ s( & 4,17 & )= & 0 \\ s( & 5,17 & )= & \frac{1}{17} \\ s( & 6,17 & )= & \frac{5}{17} \\ s( & 7,17 & )= & \frac{1}{17} \\ s( & 8,17 & )= & -\frac{8}{17} \\ s( & 9,17 & )= & \frac{8}{17} \\ s( & 10,17 & )= & -\frac{1}{17} \\ s( & 11,17 & )= & -\frac{5}{17} \\ s( & 12,17 & )= & -\frac{1}{17} \\ s( & 13,17 & )= & 0 \\ s( & 14,17 & )= & -\frac{5}{17} \\ s( & 15,17 & )= & -\frac{8}{17} \\ s( & 16,17 & )= & -\frac{20}{17} \\ s( & 1,18 & )= & \frac{34}{27} \\ s( & 5,18 & )= & \frac{2}{27} \\ s( & 7,18 & )= & -\frac{2}{27} \\ s( & 11,18 & )= & \frac{2}{27} \\ s( & 13,18 & )= & -\frac{2}{27} \\ s( & 17,18 & )= & -\frac{34}{27} \\ s( & 1,19 & )= & \frac{51}{38} \\ s( & 2,19 & )= & \frac{21}{38} \\ s( & 3,19 & )= & \frac{9}{38} \\ s( & 4,19 & )= & \frac{11}{38} \\ s( & 5,19 & )= & \frac{11}{38} \\ s( & 6,19 & )= & -\frac{9}{38} \\ s( & 7,19 & )= & \frac{3}{38} \\ s( & 8,19 & )= & -\frac{3}{38} \\ s( & 9,19 & )= & -\frac{21}{38} \\ s( & 10,19 & )= & \frac{21}{38} \\ s( & 11,19 & )= & \frac{3}{38} \\ s( & 12,19 & )= & -\frac{3}{38} \\ s( & 13,19 & )= & \frac{9}{38} \\ s( & 14,19 & )= & -\frac{11}{38} \\ s( & 15,19 & )= & -\frac{11}{38} \\ s( & 16,19 & )= & -\frac{9}{38} \\ s( & 17,19 & )= & -\frac{21}{38} \\ s( & 18,19 & )= & -\frac{51}{38} \\ s( & 1,20 & )= & \frac{57}{40} \\ s( & 3,20 & )= & \frac{3}{8} \\ s( & 7,20 & )= & \frac{3}{8} \\ s( & 9,20 & )= & -\frac{7}{40} \\ s( & 11,20 & )= & \frac{7}{40} \\ s( & 13,20 & )= & -\frac{3}{8} \\ s( & 17,20 & )= & -\frac{3}{8} \\ s( & 19,20 & )= & -\frac{57}{40} \end{array} \right)\)

 

 

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