동차다항식(Homogeneous polynomial)
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개요
- 변수의 개수가 <math>n</math>이고, 차수가 <math>d</math>인 동차다항식이 이루는 벡터공간의 차원은 <math>_n H_d= {n+d-1\choose d}</math>이다
- 중복조합의 공식 H(n,r)=C(n+r-1,r)
예
- <math>n=3</math>이고 차수 <math>d=4</math>인 동차다항식이 이루는 15차원 벡터공간의 기저
- <math>
\left\{x_1^4,x_1^3 x_2,x_1^2 x_2^2,x_1 x_2^3,x_2^4,x_1^3 x_3,x_1^2 x_2 x_3,x_1 x_2^2 x_3,x_2^3 x_3,x_1^2 x_3^2,x_1 x_2 x_3^2,x_2^2 x_3^2,x_1 x_3^3,x_2 x_3^3,x_3^4\right\} </math>
오일러 항등식
- 차수가 <math>d</math>인 <math>n</math>변수 동차다항식 <math>f</math>에 대하여, 다음이 성립한다
- <math>\sum_{i=1}^{n}x_i \frac{\partial f}{\partial x_i}=d f</math>
- 예를 들어 차수가 <math>d</math>인 3변수 동차다항식 <math>f</math>에 대하여, 다음이 성립한다
- <math>x \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}+y \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}+z \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}=d f(x,y,z)</math>
조화다항식
- <math>P^{(d)}\subseteq \mathbb{R}[x_1,\cdots, x_n]</math> 차수가 <math>d</math>인 동차다항식이 이루는 벡터공간
- 라플라시안(Laplacian) <math>\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}</math>를 다음과 같이 정의
- <math>\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}</math>
- <math>H^{(d)}:=\ker \Delta </math>의 원소를 <math>d</math>차 조화다항식이라 한다
- 조화다항식(harmonic polynomial) 항목 참조
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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