등각 사상 (conformal mapping)

수학노트
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개요

  • \((M,g)\)와 \((M',g')\) 는 같은 차원의 두 리만 다양체
  • \(\varphi : M\to M'\) 가 적당한 함수 \(\Omega : M\to \mathbb{R_{+}}\) 에 대하여, \(\varphi^{*}g'=\Omega^2g\) 를 만족시킬 때, 이를 등각 사상이라 하며, \(\Omega\) 를 conformal factor라 부른다
  • isometry는 등각 사상의 특별한 경우가 된다



local expression

  • \((\varphi^{*}g')_{\mu\nu}(a)=g'_{ij}(\varphi(a))(\partial_{\mu}\varphi^{i})(\partial_{\nu}\varphi^{j})\) 이므로, 등각 사상이 되려면

\[\Omega^{2}g_{\mu\nu}(a)=g'_{ij}(\varphi(a))(\partial_{\mu}\varphi^{i})(\partial_{\nu}\varphi^{j})\] 가 만족되어야 한다


복소함수론에서의 등각 사상

  • 도메인 \(U\subset \mathbb{C}\)에 대하여, 유클리드 메트릭이 주어졌다고 가정
  • 함수 \(\varphi : U\to \mathbb{C}\)가 등각 사상이 될 조건은 코쉬-리만 방정식 으로 주어진다



등각 사상의 예



메모



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