"라이네스 차분방정식"의 두 판 사이의 차이

2013년 10월 27일 (일) 10:28 판

개요

복소수 $A\in \mathbb{C}$에 대하여, 다음의 점화식을 Lyness 차분방정식이라 부른다

$$ x_{n+1}=\frac{A+x_{n}}{x_{n-1}} \label{lyn} $$

$x_0=\alpha,x_1=\beta$와, 점화식 \ref{lyn}에 의해 다음과 같은 수열 $\{x_n\}_{n\geq 0}$을 얻는다

$$ \alpha ,\beta ,\frac{A+\beta }{\alpha },\frac{A+A \alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{A+A \alpha +\beta +A \alpha \beta }{A \beta +\beta ^2},\frac{\alpha \left(\beta +A \left(1+\alpha +(A+\alpha ) \beta +\beta ^2\right)\right)}{(A+\beta ) (A+A \alpha +\beta )},\cdots, $$

불변량

점화식 \ref{lyn}에 의해 얻어진 수열 $\{x_n\}_{n\geq 0}$에 대하여, 다음은 $n\in \mathbb{Z}$에 의존하지 않는 불변량이다

\[C=(A+x_{n-1}+x_{n})\left(\frac{1}{x_{n-1}}+1\right) \left(\frac{1}{x_{n}}+1\right)\]

점 $(x_0,y_0)$가 곡선 $F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0$에 놓여 있는 경우, $(x_0',y_0')=(y,\frac{A+y}{x})$도 $F(x,y)=0$에 놓여 있다

특수한 경우

$A=1$

차분방정식의 해는 주기5인 주기수열이 되며, 5항 관계식 (5-term relation)에 등장함

$$ \alpha ,\beta ,\frac{1+\beta }{\alpha },\frac{1+\alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{1+\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots $$

콕세터 프리즈

메모

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxN3RUaHRNY3NrQkk/edit?usp=drivesdk

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 ==개요==
-* 복소수 $A\in \mathbb{C}$에 대하여, 다음의 점화식으로 정의되는 수열
+* 복소수 $A\in \mathbb{C}$에 대하여, 다음의 점화식을 Lyness 차분방정식이라 부른다
 $$
-<math>x_{n+1}=\frac{A+x_{n}}{x_{n-1}}</math>
+x_{n+1}=\frac{A+x_{n}}{x_{n-1}} \label{lyn}
 $$
-* $x_0=\alpha,x_1=\beta$로 두면, 다음과 같은 수열을 얻는다
+* $x_0=\alpha,x_1=\beta$와, 점화식 \ref{lyn}에 의해 다음과 같은 수열 $\{x_n\}_{n\geq 0}$을 얻는다
 $$
-\alpha ,\beta ,\frac{A+\beta }{\alpha },\frac{A+A \alpha +\beta }{\alpha  \beta },\frac{A+A \alpha +\beta +A \alpha  \beta }{A \beta +\beta ^2},\frac{\alpha  \left(\beta +A \left(1+\alpha +(A+\alpha ) \beta +\beta ^2\right)\right)}{(A+\beta ) (A+A \alpha +\beta )},\frac{\beta  \left(A (1+\alpha ) \left(A^2+\alpha \right)+\left(\alpha +A \left(\alpha ^2+2 A (1+\alpha )\right)\right) \beta +A (1+\alpha ) \beta ^2\right)}{(A+A \alpha +\beta ) (\beta +A (1+\alpha +\alpha  \beta ))}
+\alpha ,\beta ,\frac{A+\beta }{\alpha },\frac{A+A \alpha +\beta }{\alpha  \beta },\frac{A+A \alpha +\beta +A \alpha  \beta }{A \beta +\beta ^2},\frac{\alpha  \left(\beta +A \left(1+\alpha +(A+\alpha ) \beta +\beta ^2\right)\right)}{(A+\beta ) (A+A \alpha +\beta )},\cdots,
 $$
 ==불변량==
-* 다음은 $n\in \mathbb{Z}$에 의존하지 않는 불변량이다
+* 점화식 \ref{lyn}에 의해 얻어진 수열 $\{x_n\}_{n\geq 0}$에 대하여, 다음은 $n\in \mathbb{Z}$에 의존하지 않는 불변량이다
-:<math>(A+x_{n-1}+x_{n})\left(\frac{1}{x_{n-1}}+1\right) \left(\frac{1}{x_{n}}+1\right)</math>
+:<math>C=(A+x_{n-1}+x_{n})\left(\frac{1}{x_{n-1}}+1\right) \left(\frac{1}{x_{n}}+1\right)</math>
-*
+* 점 $(x_0,y_0)$가 곡선 $F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0$에 놓여 있는 경우, $(x_0',y_0')=(y,\frac{A+y}{x})$도 $F(x,y)=0$에 놓여 있다
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 ===$A=1$===
 * 차분방정식의 해는 주기5인 주기수열이 되며, [[5항 관계식 (5-term relation)]]에 등장함
+$$
+\alpha ,\beta ,\frac{1+\beta }{\alpha },\frac{1+\alpha +\beta }{\alpha  \beta },\frac{1+\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots
+$$
 * [[콕세터 프리즈]]
 [[파일:콕세터 프리즈4.png]]
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 ==관련논문==
+* Gasull, Armengol, Víctor Mañosa, and Xavier Xarles. 2012. “Rational Periodic Sequences for the Lyness Recurrence.” Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series A 32 (2): 587–604. doi:10.3934/dcds.2012.32.587.
 * Alperin, Roger C. 2011. “Integer Sequences Generated by $x_n+1=\frac {x^2_n+A}{x_n-1}$.” The Fibonacci Quarterly. The Official Journal of the Fibonacci Association 49 (4): 362–365. http://www.math.sjsu.edu/~alperin/IntegerA-Sequences.pdf
 * Lyness, R. C. 1961. “2952. Cycles.” The Mathematical Gazette 45 (353) (October 1): 207–209. doi:10.2307/3612778.

"라이네스 차분방정식"의 두 판 사이의 차이

2013년 10월 27일 (일) 10:28 판

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개요

불변량

특수한 경우

$A=1$

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