"라이네스 차분방정식"의 두 판 사이의 차이

2013년 11월 1일 (금) 11:38 판

개요

복소수 $A\in \mathbb{C}$에 대하여, 다음의 점화식을 Lyness 차분방정식이라 부른다

$$ x_{n+1}=\frac{A+x_{n}}{x_{n-1}} \label{lyn} $$

$x_0=\alpha,x_1=\beta$와, 점화식 \ref{lyn}에 의해 다음과 같은 수열 $\{x_n\}_{n\geq 0}$을 얻는다

$$ \alpha ,\beta ,\frac{A+\beta }{\alpha },\frac{A+A \alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{A+A \alpha +\beta +A \alpha \beta }{A \beta +\beta ^2},\frac{\alpha \left(\beta +A \left(1+\alpha +(A+\alpha ) \beta +\beta ^2\right)\right)}{(A+\beta ) (A+A \alpha +\beta )},\cdots, $$

어떤 경우에, 이로부터 주기 수열을 얻을 수 있는지는 흥미로운 문제이다

불변량

점화식 \ref{lyn}에 의해 얻어진 수열 $\{x_n\}_{n\geq 0}$에 대하여, 다음은 $n\in \mathbb{Z}$에 의존하지 않는 불변량이다

\[C=(A+x_{n-1}+x_{n})\left(\frac{1}{x_{n-1}}+1\right) \left(\frac{1}{x_{n}}+1\right)\]

타원 곡선

점 $(x_0,y_0)$가 곡선 $F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0$에 놓여 있는 경우, $(x_0',y_0')=(y,\frac{A+y}{x})$도 $F(x,y)=0$에 놓여 있다
타원곡선 $F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0$을 통하여, 점화식 \ref{lyn}을 이해할 수도 있다
가령, 점화식 \ref{lyn}로부터 얻어지는 수열의 (최소)주기가 1,2,3,5,6,7,8,9,10,12가 되도록 하는 적당한 $x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}$를 찾을 수 있으며, 다른 주기 (가령 4와 11)는 얻을 수 없다

특수한 경우

$A=1$

차분방정식의 해는 주기5인 주기수열이 되며, 5항 관계식 (5-term relation)에 등장함

$$ \alpha ,\beta ,\frac{1+\beta }{\alpha },\frac{1+\alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{1+\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots $$

콕세터 프리즈

$A=0$

다음과 같은 주기 6인 수열을 얻는다

$$ \alpha ,\beta ,\frac{\beta }{\alpha },\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\beta },\frac{\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots $$

메모

Pentagramma Mirificum
http://www.jstor.org/stable/2324138
We show that if $A \not= 1 $ then f is a twist map, with rotation numbers tending to 1/5 as the curves tend to infinity. Beukers and Cushman have shown that the rotation numbers are monotonic increasing if $A < 1,$ and decreasing if $A \gt 1.$ Using number theory we classify the periods of periodic orbits.

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxN3RUaHRNY3NrQkk/edit?usp=drivesdk

리뷰, 에세이, 강의노트

Geometric Unfolding of a Difference Equation E. Christopher Zeeman, K.B., F.R.S. UT San Antonio, March 10, 1997 / Trinity University, March 17, 1997

@@ 29번째 줄: / 29번째 줄: @@
 * [[콕세터 프리즈]]
 [[파일:콕세터 프리즈4.png]]
+===$A=0$===
+* 다음과 같은 주기 6인 수열을 얻는다
+$$
+\alpha ,\beta ,\frac{\beta }{\alpha },\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\beta },\frac{\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots
+$$
@@ 34번째 줄: / 39번째 줄: @@
 * [[Pentagramma Mirificum]]
 * http://www.jstor.org/stable/2324138
+* We show that if $A \not= 1 $ then f is a twist map, with rotation numbers tending to 1/5 as the curves tend to infinity. Beukers and Cushman have shown that the rotation numbers are monotonic increasing if $A < 1,$ and decreasing if $A \gt 1.$ Using number theory we classify the periods of periodic orbits.
@@ 44번째 줄: / 50번째 줄: @@
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxN3RUaHRNY3NrQkk/edit?usp=drivesdk
+==리뷰, 에세이, 강의노트==
+* [http://zakuski.utsa.edu/~gokhman/ecz/gu.html Geometric Unfolding of a Difference Equation] E. Christopher Zeeman, K.B., F.R.S. UT San Antonio, March 10, 1997 / Trinity University, March 17, 1997