라이네스 차분방정식

개요

• 복소수 $A\in \mathbb{C}$에 대하여, 다음의 점화식을 Lyness 차분방정식이라 부른다

$$ x_{n+1}=\frac{A+x_{n}}{x_{n-1}} \label{lyn} $$

• $x_0=\alpha,x_1=\beta$와, 점화식 \ref{lyn}에 의해 다음과 같은 수열 $\{x_n\}_{n\geq 0}$을 얻는다

$$ \alpha ,\beta ,\frac{A+\beta }{\alpha },\frac{A+A \alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{A+A \alpha +\beta +A \alpha \beta }{A \beta +\beta ^2},\frac{\alpha \left(\beta +A \left(1+\alpha +(A+\alpha ) \beta +\beta ^2\right)\right)}{(A+\beta ) (A+A \alpha +\beta )},\cdots, $$

• $A\in \mathbb{R}_{>0}$일 때, \ref{lyn}로부터 유계인 수열을 얻는다
• $A\in \mathbb{R}_{>0}$일 때, \ref{lyn}은 평면 $\mathbb{R}^2$에 정의된 다음 변환과 관계 있으며, 이 변환의 동역학적 성질은 흥미로운 문제이다

$$ (x,y)\mapsto (y,\frac{A+y}{x}) $$

• \ref{lyn}에 의해 유리수열이 얻어질 때, 어떤 경우에 주기 수열을 얻을 수 있는지는 수론적으로 흥미로운 문제이다

불변량

• 점화식 \ref{lyn}에 의해 얻어진 수열 $\{x_n\}_{n\geq 0}$에 대하여, 다음은 $n\in \mathbb{Z}$에 의존하지 않는 불변량이다

\[C=(A+x_{n-1}+x_{n})\left(\frac{1}{x_{n-1}}+1\right) \left(\frac{1}{x_{n}}+1\right)\]

평면에 정의된 변환

• $A>0$일 때, $\phi : \mathbb{R}_{>0}^2 \to \mathbb{R}_{>0}^2$를 다음과 같이 정의하자

$$ \phi(x,y):=(y,\frac{A+y}{x}) $$

• 다음의 함수는 $\phi$에 대한 불변량이다

$$ V(x,y)=\frac{(x + 1) (y + 1) (x + y + A)}{x y} \label{cq} $$

• \ref{cq}는 다음과 같은 등고선을 가지며, 이로부터 수열이 유계임을 확인할 수 있다

• $\phi^{*}\omega=\omega$이 성립한다. 여기서

$$ \omega=\frac{dx\wedge dy}{x y} $$

타원 곡선

• 점 $(x_0,y_0)$가 곡선 $F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0$에 놓여 있는 경우, $(x_0',y_0')=(y,\frac{A+y}{x})$도 $F(x,y)=0$에 놓여 있다
• 타원곡선 $F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0$을 통하여, 점화식 \ref{lyn}을 이해할 수도 있다
• $x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}$인 경우만을 생각할 때, 점화식 \ref{lyn}로부터 얻어지는 수열의 (최소)주기가 1,2,3,5,6,7,8,9,10,12가 되도록 하는 적당한 $x_0, x_1,A\in \mathbb{Q}$를 찾을 수 있으며, 이와 다른 주기 (가령 4와 11)는 얻을 수 없다

특수한 경우

$A=1$

• 차분방정식의 해는 주기5인 주기수열이 되며, 5항 관계식 (5-term relation)에 등장함

$$ \alpha ,\beta ,\frac{1+\beta }{\alpha },\frac{1+\alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{1+\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots $$

• 콕세터 프리즈

$A=0$

• 다음과 같은 주기 6인 수열을 얻는다

$$ \alpha ,\beta ,\frac{\beta }{\alpha },\frac{1}{\alpha },\frac{1}{\beta },\frac{\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots $$

메모

• Pentagramma Mirificum
• http://www.jstor.org/stable/2324138
• We show that if $A \not= 1 $ then f is a twist map, with rotation numbers tending to 1/5 as the curves tend to infinity. Beukers and Cushman have shown that the rotation numbers are monotonic increasing if $A < 1,$ and decreasing if $A \gt 1.$ Using number theory we classify the periods of periodic orbits.

 

관련된 항목들

• 5항 관계식 (5-term relation)
• 콕세터 프리즈

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxN3RUaHRNY3NrQkk/edit?usp=drivesdk

수학용어번역

• 발음사전 http://www.pronouncenames.com/search?name=lyness

리뷰, 에세이, 강의노트

• Geometric Unfolding of a Difference Equation E. Christopher Zeeman, K.B., F.R.S. UT San Antonio, March 10, 1997 / Trinity University, March 17, 1997

관련논문

• Gasull, Armengol, Víctor Mañosa, and Xavier Xarles. 2012. “Rational Periodic Sequences for the Lyness Recurrence.” Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series A 32 (2): 587–604. doi:10.3934/dcds.2012.32.587.
• Alperin, Roger C. 2011. “Integer Sequences Generated by $x_{n+1}=\frac {x^2_n+A}{x_{n-1}}$.” The Fibonacci Quarterly. The Official Journal of the Fibonacci Association 49 (4): 362–365. http://www.math.sjsu.edu/~alperin/IntegerA-Sequences.pdf
• Esch, J., and T. D. Rogers. 2001. “The Screensaver Map: Dynamics on Elliptic Curves Arising from Polygonal Folding.” Discrete & Computational Geometry. An International Journal of Mathematics and Computer Science 25 (3): 477–502. doi:10.1007/s004540010075.
• Bastien, G., and M. Rogalski. 2004. “Global Behavior of the Solutions of Lyness’ Difference Equation $u_{n+2}u_n=u_{n+1}+a$.” Journal of Difference Equations and Applications 10 (11): 977–1003. doi:10.1080/10236190410001728104.
• Beukers, F., and R. Cushman. 1998. “Zeeman’s Monotonicity Conjecture.” Journal of Differential Equations 143 (1): 191–200. doi:10.1006/jdeq.1997.3359.
• Lyness, R. C. 1961. “2952. Cycles.” The Mathematical Gazette 45 (353) (October 1): 207–209. doi:10.2307/3612778.
• Lyness, R. C. 1945. “1847. Cycles.” The Mathematical Gazette 29 (287) (December 1): 231–233. doi:10.2307/3609268.
• Lyness, R. C. 1942. “1581. Cycles.” The Mathematical Gazette 26 (268) (February 1): 62. doi:10.2307/3606036.