라이네스 차분방정식

개요

• 복소수 $A\in \mathbb{C}$에 대하여, 다음의 점화식을 Lyness 차분방정식이라 부른다

$$ x_{n+1}=\frac{A+x_{n}}{x_{n-1}} \label{lyn} $$

• $x_0=\alpha,x_1=\beta$와, 점화식 \ref{lyn}에 의해 다음과 같은 수열 $\{x_n\}_{n\geq 0}$을 얻는다

$$ \alpha ,\beta ,\frac{A+\beta }{\alpha },\frac{A+A \alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{A+A \alpha +\beta +A \alpha \beta }{A \beta +\beta ^2},\frac{\alpha \left(\beta +A \left(1+\alpha +(A+\alpha ) \beta +\beta ^2\right)\right)}{(A+\beta ) (A+A \alpha +\beta )},\cdots, $$

불변량

• 점화식 \ref{lyn}에 의해 얻어진 수열 $\{x_n\}_{n\geq 0}$에 대하여, 다음은 $n\in \mathbb{Z}$에 의존하지 않는 불변량이다

\[C=(A+x_{n-1}+x_{n})\left(\frac{1}{x_{n-1}}+1\right) \left(\frac{1}{x_{n}}+1\right)\]

• 점 $(x_0,y_0)$가 곡선 $F(x,y)=(x + 1) (y + 1) (x + y + A) - C x y=0$에 놓여 있는 경우, $(x_0',y_0')=(y,\frac{A+y}{x})$도 $F(x,y)=0$에 놓여 있다

특수한 경우

$A=1$

• 차분방정식의 해는 주기5인 주기수열이 되며, 5항 관계식 (5-term relation)에 등장함

$$ \alpha ,\beta ,\frac{1+\beta }{\alpha },\frac{1+\alpha +\beta }{\alpha \beta },\frac{1+\alpha }{\beta },\alpha ,\beta ,\cdots $$

• 콕세터 프리즈

메모

• Pentagramma Mirificum
• http://www.jstor.org/stable/2324138

 

관련된 항목들

• 5항 관계식 (5-term relation)
• 콕세터 프리즈

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxN3RUaHRNY3NrQkk/edit?usp=drivesdk

관련논문

• Gasull, Armengol, Víctor Mañosa, and Xavier Xarles. 2012. “Rational Periodic Sequences for the Lyness Recurrence.” Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series A 32 (2): 587–604. doi:10.3934/dcds.2012.32.587.
• Alperin, Roger C. 2011. “Integer Sequences Generated by $x_n+1=\frac {x^2_n+A}{x_n-1}$.” The Fibonacci Quarterly. The Official Journal of the Fibonacci Association 49 (4): 362–365. http://www.math.sjsu.edu/~alperin/IntegerA-Sequences.pdf
• Lyness, R. C. 1961. “2952. Cycles.” The Mathematical Gazette 45 (353) (October 1): 207–209. doi:10.2307/3612778.
• Lyness, R. C. 1945. “1847. Cycles.” The Mathematical Gazette 29 (287) (December 1): 231–233. doi:10.2307/3609268.
• Lyness, R. C. 1942. “1581. Cycles.” The Mathematical Gazette 26 (268) (February 1): 62. doi:10.2307/3606036.