라플라스-벨트라미 연산자

수학노트
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개요

  • 유클리드 공간에 정의된 미분연산자
  • 더 일반적으로 리만다양체 위에서 정의할 수 있으며, 메트릭 텐서를 이용하여 쓸 수 있음 (이 경우 라플라스-벨트라미 연산자로 불리기도 함)
    • 미분형식에 대한 라플라시안 연산자로 일반화되며, 미분다양체의 드람 코호몰로지 이론에서 중요한 역할을 함
  • 컴팩트 리만다양체에서 정의되는 라플라시안의 고유값을 이해하는 문제는 수학적으로 중요

 

2차원 유클리드 공간

  • 라플라시안 연산자는 다음과 같이 정의됨\[\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\]


 

리만다양체의 메트릭 텐서를 이용한 표현

  • 리만다양체의 메트릭 텐서가 \(g_{ij}\)로 주어지는 경우
  • \((g^{ij})=(g_{ij})^{-1}\)
  • 라플라시안\[\Delta f=\nabla_i \nabla^i f =\frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial }{\partial x^j}\left(g^{jk}\sqrt{\det g}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right) = g^{jk}\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k} + \frac{\partial g^{jk}}{\partial x^j} \frac{\partial f}{\partial x^k} + \frac12 g^{jk}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^k}\]
  • 곡면의 경우 \(E=g_{11}\), \(F=g_{12}=g_{21}\), \(G=g_{22}\)
  • \(F=0\)인 경우\[\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)\]

 

극좌표계의 경우

  • 극좌표계
  • \(E=1\), \(G=0\), \(F=r^2\)\[\sqrt{EG}=r\]\[\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}={1 \over r} {\partial f \over \partial r}+ {\partial^2 f \over \partial r^2}+{1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\]

 

 

구면 라플라시안

  • 구면(sphere)
  • \(E=r^2\sin^2\theta\), \(F=0\), \(G=r^2\)\[\Delta f ={1 \over r^2 }({\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2})\]

 

 

3차원 구면좌표계의 경우

  • 구면좌표계\[\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}\]

 


라플라시안의 성질

  • 컴팩트 리만 다양체 $M$
  • elliptic
  • self-adjoint
  • $-\Delta$ 는 positive
  • $-\Delta$ 의 스펙트럼은 다음과 같이 주어짐

$$0=\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots, \lim_{j\to \infty}\lambda_j=\infty$$

역사

 

메모

 

 

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관련논문

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  • Berestovskii, Valera, Irina Zubareva, and Victor Svirkin. “The Spectrum of the Laplace Operator on Connected Compact Simple Lie Groups of Rank 3.” arXiv:1511.03872 [math], November 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.03872.
  • Nadirashvili, Nikolai, and Yannick Sire. “Isoperimetric Inequality for the Third Eigenvalue of the Laplace-Beltrami Operator on $\mathbb S^2$.” arXiv:1506.07017 [math], June 23, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07017.
  • He, Yue. ‘Proof of the P’{o}lya Conjecture’. arXiv:1411.1135 [math], 4 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.1135.
  • Ballmann, Werner, Henrik Matthiesen, and Sugata Mondal. 2014. “Small Eigenvalues of Surfaces.” arXiv:1406.5836 [math], June. http://arxiv.org/abs/1406.5836.
  • Donnelly, Harold, and Charles Fefferman. “Nodal Sets of Eigenfunctions on Riemannian Manifolds.” Inventiones Mathematicae 93, no. 1 (1988): 161–83. doi:10.1007/BF01393691.