로그 함수

개요

• 수의 자릿수 개념의 수학적 일반화
• 곱셈을 덧셈으로 바꿔주는 성질
• 지수함수의 역함수이다

초딩도 이해할 수 있는 로그 입문

• <math>a</math>의 (상용) 로그 = <math>a</math>의 자리수 - 1 100000 의 로그 = 5 10000000 의 로그 = 7
• 좋은점은 곱하기를 더하기로 쉽게 할 수 있다는 것 가령 (100000 * 10000000) 의 로그 = 5 + 7 = 12 따라서 100000 * 10000000 = 1000000000000 (0이 12개)

로그함수

• 양수 a>0에 대하여, <math>x =a^y</math> 인 실수 x,y (x>0) 에 대하여 다음과 같이 정의:<math>y = \log_a (x)</math>
• 이 때 a를 로그함수의 밑(base) 라 부르며, y를 a를 밑으로 하는 x의 로그라 한다
• 성질:<math>\log_a (xy)=\log_a (x)+\log_a (y)</math>:<math>\log_a (1)=0</math>

넓이와 로그

• 반비례곡선 아래의 넓이로 <math>x>0</math>에 대하여 다음과 같이 정의된 함수를 생각하자 <math>L(x)=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}</math>
• 성질:<math>L(1)=0</math>:<math>L(xy)=L(x)+L(y)</math>

증명

실수 <math>a,b,\lambda</math>가 양수라고 가정.

치환적분을 사용하면, 다음 등식이 성립한다.

(*) <math>\int_{a}^{b}\frac{dt}{t}=\int_{\lambda a}^{\lambda b}\frac{dt}{t}</math>

<math>L(xy)=\int_{1}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{x}^{xy}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}+\int_{1}^{y}\frac{dt}{t}</math>

마지막 등식에서 (*)를 사용하였다.

따라서 <math>L(xy)=L(x)+L(y)</math>가 성립 ■

자연로그

• 급수 <math>|z|<1</math> 일 때,:<math>-\log (1-z)=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}+\frac{z^4}{4}+\frac{z^5}{5}+\cdots</math>

복소로그함수

• 복소로그함수는 복소수 <math>z = re^{i\theta}</math> 에 대하여, 다음과 같이 정의

<math>\log(z) = \ln|z| + i\arg(z) = \ln(r) + i\left(\theta + 2 \pi k \right)</math>. 여기서 <math>k\in\mathbb{Z}</math>.

• 하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)
• 예를 들자면, <math>z=1=1\cdot e^{i\cdot 0}</math>에 대해

<math>\log(1) = \ln|1| + i\arg(1) = \ln(1) + i\left(0 + 2 \pi k \right) =\cdots, -6\pi i,-4\pi i,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,6\pi i, \cdots</math>

• 복소로그함수 항목에서 자세히 다룸

응용

• 로그함수와 현실에서의 응용

역사

• 1614년 네이피어가 로그를 고안
• http://books.google.de/books?id=0w4-WNgKEokC&pg=PA885&lpg=PA885&dq=East+India+Company+edward+wright+logarithm+table&source=bl&ots=Y01qieNwxw&sig=d-Vyfz-f4cp480xzJWQDgGfjRPk&hl=en&sa=X&ei=GcXDUKORNITXtQauwoDABw&ved=0CFMQ6AEwBg#v=onepage&q=East%20India%20Company%20edward%20wright%20logarithm%20table&f=false
• 수학사 연표

메모

• http://newdle.edupia.com/xmlView.aspx?xmldid=25448
• Logarithms: The Early History of a Familiar Function

관련된 항목들

• 자연상수 e
• 벤포드의 법칙
• 디리클레 unit 정리

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZHViU093S1E0a3c/edit

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/로그
• http://en.wikipedia.org/wiki/logarithm
• http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
  • Chapter 4 Elementary Functions

관련기사

• [신성택 칼럼제2차 북한 핵실험의 핵기술적 의미],뉴스한국, 2009-05-27

메타데이터

위키데이터

• ID : Q11197

Spacy 패턴 목록

• [{'LEMMA': 'logarithm'}]
• [{'LEMMA': 'log'}]
• [{'LOWER': 'logarithmic'}, {'LEMMA': 'function'}]
• [{'LOWER': 'logarithm'}, {'LEMMA': 'function'}]
• [{'LEMMA': 'lg'}]
• [{'LEMMA': 'logarithms'}]