로저스 다이로그 함수 (Rogers dilogarithm)

수학노트
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개요


정의

  • <math>x\in (0,1)</math>에서 로저스 다이로그 함수를 다음과 같이 정의
<math>L(x)=\operatorname{Li}_ 2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\left(\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(y)}{1-y}\right)dy</math>
  • <math>(-\infty,0],[1,+\infty)</math>를 제외한 복소평면으로 해석적확장됨
  • <math>dL(y)=\frac{1}{2}[\log(y)d\log (1-y)-\log(1-y)d\log (y)]</math>


함수의 그래프

  • <math>x\in (0,1)</math> 에서의 그래프

로저스 다이로그 함수 (Roger s dilogarithm)1.gif

  • 함수 방정식을 이용한 확장

로저스 다이로그 함수 (Roger s dilogarithm)2.gif

반사공식(오일러)

  • <math>0\leq x \leq 1</math> 일 때:<math>L(x)+L(1-x)=L(1)</math>



5항 관계식

  • <math>0\leq x,y\leq 1</math> 일 때, :<math>L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\left( \frac{1-x}{1-xy}\right)=\frac{\pi^2}{2}</math>


special values

<math>L(0)=0</math>

<math>L(1)=\frac{\pi^2}{6}</math>

<math>L(-1)=-\frac{\pi^2}{12}</math>

<math>L(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{12}</math>

<math>L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}</math>

<math>L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}</math>

  • non-unitary <math>c(2,k+2)</math> minimal models
<math>\sum_{i=1}^{[k/2]}L\left(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}}\right)=\frac{k-1}{k+2}\cdot \frac{\pi^2}{6}</math>


역사



메모

관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스




사전 형태의 자료



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