리대수 so(5)의 유한차원 표현론
개요
- 복소수체 위의 10차원 리대수
- \(B_2\) 타입의 단순 리대수
리대수 \(\mathfrak{so}(5)\)
- \(B_2\) 카르탄 행렬
\[ \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -2 & 2 \\ \end{array} \right) \]
- \(B_2\) 루트 시스템
\[\Phi= \left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _1+2 \alpha _2,\alpha _1+\alpha _2,-\alpha _1,-\alpha _2,-\alpha _1-2 \alpha _2,-\alpha _1-\alpha _2\right\} \]
- 바일군, 크기 8인 유한반사군
\[ \{s[], s[1], s[2], s[1, 2], s[2, 1], s[1, 2, 1], s[2, 1, 2], s[1, 2, 1, 2]\} \]
- \(B_2\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^2\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
- \(\alpha_1=(1,-1)\)
- \(\alpha_2=(0,1)\)
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- fundamental weights
- \(\omega_1=(1,0)\)
- \(\omega_2=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)
- 바일 벡터 \(\rho=(3/2, 1/2)\)
유한차원 기약 표현의 분류
- 유한차원 기약 표현 \(V\)에 대하여, 적당한 dominant weight \(\omega=a\omega_1+b\omega_2, a,b\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)가 존재하여, \(V\cong L(\omega)\)가 성립
- 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다
\[ \dim L(a\omega_1+b\omega_2)=\frac{1}{6} (a+1) (b+1) (a+b+2) (2 a+b+3) \]
기약표현의 예
- 표현 \(V=L(\lambda)\)의 지표를 다음과 같이 정의
\[ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} \]
- \(x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2}\)로 두면, \(\chi_{\lambda}\)는 \(\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm}]\)의 원소가 된다
- 바일 지표 공식 (Weyl character formula) 항목 참조
예1
- 벡터 표현, highest weight은 \(\omega_1\)
- 5차원 표현
- 지표
\[ \chi_{\omega_1}=\frac{x_2^2}{x_1}+x_1+\frac{1}{x_1}+\frac{x_1}{x_2^2}+1 \]
- weight diagram
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예2
- 스핀 표현, highest weight은 \(\omega_2\)
- 4차원 표현
- 지표
\[ \chi_{\omega_2}=\frac{x_1}{x_2}+x_2+\frac{1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} \]
- weight diagram
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예3
- highest weight \(2\omega_1\)
- 14차원 표현
- 지표
\[ \chi_{2\omega_1}=\frac{x_2^4}{x_1^2}+\frac{x_2^2}{x_1}+\frac{x_2^2}{x_1^2}+x_2^2+x_1^2+x_1+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1^2}+\frac{x_1^2}{x_2^2}+\frac{x_1}{x_2^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{x_1^2}{x_2^4}+2 \]
- weight diagram
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예4
- adjoint 표현, highest weight \(2\omega_2\)
- 10차원 표현
- 지표
\[ \chi_{2\omega_2}=\frac{x_1^2}{x_2^2}+\frac{x_1}{x_2^2}+x_1+\frac{x_2^2}{x_1^2}+x_2^2+\frac{1}{x_2^2}+\frac{x_2^2}{x_1}+\frac{1}{x_1}+2 \]
- weight diagram
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관련된 항목들