리우빌 수

개요

정리 (리우빌,1844)

무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 와 임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대하여, 부등식 \[ \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert < \frac{1}{q^{d+\epsilon}}\] 의 유리수해 \(p/q\)의 개수는 유한하다

• 리우빌 정리의 또다른 버전

정리

무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, 적당한 상수 \(c(\alpha)>0\)가 존재하여, 모든 유리수 \(p/q\)에 대하여 다음 부등식이 만족된다. \[ \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert > \frac{c(\alpha)}{q^{d}}\]

리우빌 상수

• 이 정리를 사용하여, 리우빌 상수 c가 초월수임을 증명할 수 있다

\[c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots\]

• 다음과 같은 정수열을 정의하자

\[p_n = \sum_{j=1}^n 10^{n! - j!}; \quad q_n = 10^{n!}\]

• 다음의 부등식이 성립한다

\[\left|c - \frac{p_n}{q_n}\right| = \sum_{j=n+1}^\infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + \cdots < 10\cdot10^{-(n+1)!} \le \Big(10^{-n!}\Big)^n = \frac{1}{{q_n}^n}\]

관련논문

• Schleischitz, Johannes. “On a Problem Posed by Mahler.” arXiv:1501.02731 [math], January 12, 2015. http://arxiv.org/abs/1501.02731.