마델룽 상수

개요

• 이온 결정에서 하나의 이온이 갖는 정전기 포텐셜에 대한 상수
• 격자 위의 합

정사각 격자

1차원

• 양이온과 음이온이 직선상에 교대로 놓여 있는 경우

$$ \sum_{j=-\infty}^{\infty}' \frac{(-1)^{j+1}}{j}=2\log 2=1.38629\cdots $$

2차원

• 양이온과 음이온이 2차원 정사각격자에 교대로 놓여 있는 경우

$$ \sum _{i=-\infty }^{\infty } \underset{j=-\infty }{\overset{\infty }{\sum '}}\frac{(-1)^{i+j}}{\sqrt{i^2+j^2}}=1.61554\cdots $$

3차원

$$ \sum _{i=-\infty }^{\infty } \sum _{j=-\infty }^{\infty } \sum _{k=-\infty }^{\infty } '\frac{(-1)^{i+j+k+1}}{\sqrt{i^2+j^2+k^2}}=1.74756\cdots $$

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://drive.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUjQyN0pJRmtBQkE/view
• http://mathworld.wolfram.com/MadelungConstants.html

리뷰, 에세이, 강의노트

• http://physica.gsnu.ac.kr/phtml/modern/solidstate/crystalphysics/crystalphysics2.html
• https://www.quora.com/What-is-the-significance-of-the-Madelung-constant

관련논문

• Mamode, Malik. “Computation of the Madelung Constant for Hypercubic Crystal Structures in Any Dimension.” arXiv:1511.05981 [math-Ph, Physics:physics], November 18, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.05981.
• Crandall, Richard E. “New Representations for the Madelung Constant.” Experimental Mathematics 8, no. 4 (1999): 367–79.
• Crandall, Richard E. "Fast evaluation of Epstein zeta functions." (1998): 1-11. http://www.reed.edu/physics/faculty/crandall/papers/epstein.pdf
• Borwein, David, Jonathan M. Borwein, and Keith F. Taylor. “Convergence of Lattice Sums and Madelung’s Constant.” Journal of Mathematical Physics 26, no. 11 (November 1, 1985): 2999–3009. doi:10.1063/1.526675.