맥스웰 방정식의 평면파 특수해
개요
- 맥스웰 방정식은 전파되는 파동과 같은 특수해를 가진다
- 맥스웰은 이러한 해의 존재로부터 전자기파의 존재를 예측하고, 빛이 전자기적인 현상임을 발견
평면파 특수해
진공에서의 맥스웰 방정식
- 맥스웰 방정식
\[ \left\{ \begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{E}&=0 \\ \nabla \cdot \mathbf{B}&= 0 \\ \nabla \times \mathbf{E}&= -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B}&= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \end{aligned} \right. \label{me} \]
특수해의 유도
- \(\mathbf{r}=(x,y,z)\)로 쓰자
- 상수 \(\omega\in \mathbb{R}\)과 3차원 벡터 \(\mathbf{A}_0,\mathbf{k}\in \mathbb{R}^3\)에 대하여 벡터장 \(\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\mathbf{A}_0 e^{i (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)}\)는 다음을 만족한다
\[ \left\{ \begin{aligned} \nabla \cdot \mathbf{A}&=i \mathbf{k}\cdot \mathbf{A} \\ \nabla \times \mathbf{A}&=i \mathbf{k}\times \mathbf{A} \\ \frac{\partial \mathbf{A}} {\partial t}&= - i \omega \mathbf{A} \end{aligned} \right. \]
- \ref{me}를 만족하는 다음과 같은 형태의 해 \((\mathbf{E},\mathbf{B})\)를 찾으려 한다
\[ \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_0 e^{i (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)} \\ \mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\mathbf{B}_0 e^{i (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)} \label{be} \]
- \ref{be}에 \ref{me}를 적용하면 다음과 같은 관계식을 얻는다
\[ \left\{ \begin{aligned} \mathbf{k}\cdot \mathbf{E}_0&=0 \\ \mathbf{k}\cdot \mathbf{B}_0&=0 \\ \mathbf{k}\times \mathbf{E}_0&=\omega \mathbf{B}_0 \\ \mathbf{k}\times \mathbf{B}_0&=- \mu_0\epsilon_0\omega \mathbf{E}_0 \end{aligned} \right. \label{rel} \]
- \(\omega\neq 0\)일 때, \ref{rel}이 성립할 필요충분조건은 다음과 같다
\[ \left\{ \begin{aligned} \mathbf{k}\cdot \mathbf{E}_0&=0 \\ \mathbf{B}_0&=\frac{\mathbf{k}\times \mathbf{E}_0}{\omega} \\ \mu_0\epsilon_0 &= (\frac{k}{\omega})^2 \end{aligned} \right. \] 여기서 \(k=|\mathbf{k}|\).
- 벡터의 외적(cross product)이 만족시키는 성질이 이러한 계산에 유용하다
- 요약하면, \ref{be}과 같은 꼴의 평면파 특수해는 전기장, 자기장, 파동의 진행방향이 각각 서로 수직인 성질을 갖는다
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWU5wek5ubXdnc2M/edit
- http://mathematica.stackexchange.com/questions/1987/how-do-i-plot-a-plane-em-wave
리뷰, 에세이, 강의노트
사전 형태의 자료
메타데이터
위키데이터
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Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'sinusoidal'}, {'LOWER': 'plane'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'wave'}, {'LOWER': 'solutions'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'the'}, {'LOWER': 'electromagnetic'}, {'LOWER': 'wave'}, {'LEMMA': 'equation'}]