"미디의 정리(Midy's theorem)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
잔글 (찾아 바꾸기 – “<h5>” 문자열을 “==” 문자열로)
7번째 줄: 7번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>개요</h5>
+
==개요</h5>
  
 
* [['142857의 신비' 해설|'142857의 신비']]에서처럼 142857과 같은 수를 적당한 자리마다 쪼개어 더했을때 9가 많이 나타나는 현상에 대한 일반적인 이해<br>
 
* [['142857의 신비' 해설|'142857의 신비']]에서처럼 142857과 같은 수를 적당한 자리마다 쪼개어 더했을때 9가 많이 나타나는 현상에 대한 일반적인 이해<br>
27번째 줄: 27번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>순환마디의 길이가 2의 배수일때</h5>
+
==순환마디의 길이가 2의 배수일때</h5>
  
 
*  소수 p에 대하여, 분수 a/p  (<math>1\leq a \leq p-1</math>) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 <math>a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}</math> 라 하자.<br><math>1\leq i \leq n</math> 에 대하여, <math>a_{i} + a_{i+n}=9</math> 이 성립한다.<br> 또한 <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99</math>(n개의 9) 가 성립한다.<br>
 
*  소수 p에 대하여, 분수 a/p  (<math>1\leq a \leq p-1</math>) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 <math>a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}</math> 라 하자.<br><math>1\leq i \leq n</math> 에 대하여, <math>a_{i} + a_{i+n}=9</math> 이 성립한다.<br> 또한 <math>a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99</math>(n개의 9) 가 성립한다.<br>
47번째 줄: 47번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>예 : 1176470588235294</h5>
+
==예 : 1176470588235294</h5>
  
 
* p=17
 
* p=17
84번째 줄: 84번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>예 : 052631578947368421</h5>
+
==예 : 052631578947368421</h5>
  
 
*  p=19<br>
 
*  p=19<br>
99번째 줄: 99번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>역사</h5>
+
==역사</h5>
  
 
* 1836년 미디
 
* 1836년 미디
109번째 줄: 109번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>메모</h5>
+
==메모</h5>
  
 
 
 
 
115번째 줄: 115번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>관련된 항목들</h5>
+
==관련된 항목들</h5>
  
 
* [[합동식 (모듈로 modulo 연산)]]
 
* [[합동식 (모듈로 modulo 연산)]]
140번째 줄: 140번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
+
==매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
  
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWNhZDQwN2MtNjMyMS00ZDc2LTgzZTQtMzFmMTQxYWFmZWM0&sort=name&layout=list&num=50
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYWNhZDQwN2MtNjMyMS00ZDc2LTgzZTQtMzFmMTQxYWFmZWM0&sort=name&layout=list&num=50
159번째 줄: 159번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>사전 형태의 자료</h5>
+
==사전 형태의 자료</h5>
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
172번째 줄: 172번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>리뷰논문과 에세이</h5>
+
==리뷰논문과 에세이</h5>
  
 
* [http://www.jstor.org/stable/3621748 A Curious String of Nines]<br>
 
* [http://www.jstor.org/stable/3621748 A Curious String of Nines]<br>
184번째 줄: 184번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>관련논문</h5>
+
==관련논문</h5>
  
 
* Lewittes, Joseph. 2006. “Midy’s Theorem for Periodic Decimals”. <em>math/0605182</em> (5월 7). http://arxiv.org/abs/math/0605182
 
* Lewittes, Joseph. 2006. “Midy’s Theorem for Periodic Decimals”. <em>math/0605182</em> (5월 7). http://arxiv.org/abs/math/0605182

2012년 10월 31일 (수) 17:11 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

==개요

  • '142857의 신비'에서처럼 142857과 같은 수를 적당한 자리마다 쪼개어 더했을때 9가 많이 나타나는 현상에 대한 일반적인 이해
    • 1+8=4+5=2+7=9
    • 142 + 857=999
    • 428 + 571=999
    • 285 + 714=999
    • 857 + 142=999
    • 571 + 248=999
    • 712 + 485=999
    • 14+28+57=99
    • 42+85+71=198=2*99
  • 여기서 142857과 같은 수란 cyclic numbers 를 의미한다
  • 대부분의 성질은 순환군 을 통하여 이해할 수 있다
  • 더 구체적으로는 Z_p^{x} 에서 10^k 꼴의 원소로 생성되는 부분군과 그 coset 의 원소들의 합을 구하는 문제로 이해할 수 있다

 

 

==순환마디의 길이가 2의 배수일때

  • 소수 p에 대하여, 분수 a/p  (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 2n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}\) 라 하자.
    \(1\leq i \leq n\) 에 대하여, \(a_{i} + a_{i+n}=9\) 이 성립한다.
    또한 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} = 99\cdots 99\)(n개의 9) 가 성립한다.

 

(증명)

분수 a/p  (\(1\leq a \leq p-1\)) 를 생각하자.

\(g_k \equiv a10^k \pmod p\) 를 만족시키는 \(1\leq g_k \leq p-1\), \((k=0,1,\cdots,2n-1)\)를 정의하자. \(g_0=a\) 이다.

분수 a/p의 순환마디의 길이가 2n이면, \(10^n \equiv -1 \pmod p\) 가 성립하므로, \(g_n=p-a\) 임을 안다.

\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_0}{p}=\frac{(g_0+g_n)(10^n-1)}{p}=10^n-1\) ■

 

 

==예 : 1176470588235294

  • p=17
  • 2/17 = 0.11764705882352941176470588235294...
  • 11764705 + 88235294 = 99999999
  • 이 경우엔 위의 증명에서 \(g_k\) 로 쓰인 수는 2, 3, 13, 11, 8, 12, 1, 10, 15, 14, 4, 6, 9, 5, 16, 7 로 주어진다

 

 

순환마디의 길이가 3의 배수일 때
  • 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이고, 순환마디가 \(a_1a_2\cdots a_{n} a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n}a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}\) 라 하자.
    \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\) 가 성립한다

 

(증명)

순환마디의 길이가 3n인 분수 1/p 를 생각하자.

\(g_k \equiv 10^k \pmod p\), \(0\leq g_k \leq p-1\) 라 정의하자. \(g_0=1\) 이다.

\(g_{2n} \equiv g_n^2 \pmod p\), \(g_n^3 \equiv 1 \pmod p\)  이므로, \(g_0+g_n+g_{2n}\equiv 1+g_n+g_n^2=(g_n^3-1)/(g_n-1)\equiv 0 \pmod p\) 이다.

따라서 \(g_0+g_n+g_{2n}=p\) 또는 \(g_0+g_n+g_{2n}=2p\)가 성립한다.

그러나 \(1\leq g_k \leq p-1\) 이므로 \(1+g_n+g_{2n}=2p\)일 수 없다. 따라서 \(g_0+g_n+g_{2n}=p\)

\(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=\frac{g_0 10^n-g_n}{p} + \frac{g_{n} 10^n-g_{2n}}{p}+\frac{g_{2n} 10^n-g_{0}}{p}=\frac{(g_0+g_n+g_{2n})(10^n-1)}{p}=10^n-1\) ■

  • 일반적으로 소수 p에 대하여, 분수 1/p 를 십진법 전개할 때 얻어지는 순환마디의 길이가 3n 이라고 하자.
    분수 a/p  (\(1\leq a \leq p-1\)) 또는 (p-a)/p  (\(1\leq a \leq p-1\)) 의 순환소수전개를 생각하자.
    둘 중의 하나는 \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}= 99\cdots 99\)
    다른 하나는, \(a_1a_2\cdots a_{n} + a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{2n} +a_{2n+1}a_{2n+2}\cdots a_{3n}=2* 99\cdots 99\) 를 만족한다

 

 

==예 : 052631578947368421

  • p=19
    • 1/19=0.052631578947368421052...
    • 52631+578947+368421=999999
  • p=7
    • 3/7 = 0.4285714286...
    • 42+ 85+71=198
    • 4/7 = 0.5714285714
    • 57+14+28=99

 

 

==역사

 

 

==메모

 

 

==관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

 

==매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

 

==사전 형태의 자료

 

 

==리뷰논문과 에세이

 

 

 

==관련논문

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=미디의_정리(Midy%27s_theorem)&oldid=10058"