미분과 적분

개요

• 7차 교육 과정에서 미분과 적분 개념은 크게 '수2', '선택 미분과 적분' 에서 다루어진다. 크게 살펴보면,
  • 수 2 : 다항함수의 미분과 적분
  • 선택 미분과 적분 : 기타 초월함수의 미분과 적분
• 미분은 자르는 것, 적분은 모으는 것. (무슨 말일까요?)
• 미분은 기울기를 구하는 과정이고, (정)적분은 넓이를 구하는 과정이다 Tip) 배울 때는 미분을 먼저 배우지만, 역사적으로는 적분의 개념이 먼저이다

• 개략적인 틀 : 어떤 것들을 배우게 되는가?
  • 평균변화율과 순간변화율의 개념
  • 연속성과 미분가능성에 대하여
  • 미분의 선형성 (선형성이라는 용어는 배우지 않는다)
  • 미분의 계산법 (도함수를 구하는 법)
  • 연쇄법칙 (chain rule)
  • 미분의 응용: 접선, 최(극)대와 최(극)소, 오목과 볼록, 그래프의 개형, 속도와 가속도, 기타 변화와 관련된 문제들
  • 부정적분의 개념
  • 부정적분의 계산법
  • 구분구적법 : 정적분을 위한 기초
  • 정적분의 개념과 계산
  • 정적분과 부정적분의 선형성
  • 부정적분과 정적분의 관계(미적분학의 기본 정리)
  • 적분하는데 필요한 스킬 : 치환적분과 부분적분, 부분분수로 고치는 방법 등
  • 정적분의 여러 가지 문제: 정적분으로 정의된 함수, 무한급수를 정적분으로 고치는 법.
  • 응용: 넓이, 부피, 그래프의 길이.

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

• 극한의 개념 : 미분은 극한으로 정의된다.
• 시그마 기호 \(\sum\), 무한합(급수)의 개념

중요한 개념 및 정리

• 미분과 적분의 선형성 : 합은 떨어지고 상수배는 나온다.
• 미적분학의 기본 정리 \(f(x)\) 의 한 부정적분함수를 \(F(x)\) 라 하면 \(F'(x)= \int_a^x \frac{d}{dx}f(x)dt=f(x)\)

재미있는 문제

• 사이클로이드 문제

관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들

• 리만 적분(우리가 배우는 적분은 리만 적분이다), 르벡 적분

관련된 대학교 수학

• 04 미적분학
• 해석개론

관련논문

• On the Differentiation Formula for \(\sin\theta\) , Donald Hartig
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 3 (Mar., 1989), p. 252

(편집이 필요합니다)