베르누이 다항식

수학노트
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개요[편집]

  • 베르누이 다항식 $B_n(x)$의 생성함수는 다음과 같이 정의
<math>\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}</math>
  • 좀더 구체적으로는 다음과 같이 주어짐
<math>B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}</math>

여기서 <math>B_k</math> 는 베르누이 수


여러가지 성질[편집]

  • 베르누이 수 <math>B_n(0)=B_n</math>
  • 다음을 만족한다 (점화 관계)
<math>\frac{d}{dx}B_k (x) = k B_{k-1} (x)</math>
<math>\left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}</math>
  • 곱셈공식
<math>B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)</math>


 

테이블[편집]

\begin{array}{c|c|c|c|c|c}

 & B_n(x) & B_n'(x) & \Delta B_n(x)=B_n(x+1)-B_n(x) & B_n(0) & B_n(1) \\

\hline

0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & x-\frac{1}{2} & 1 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
2 & x^2-x+\frac{1}{6} & 2 x-1 & 2 x & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\
3 & x^3-\frac{3 x^2}{2}+\frac{x}{2} & 3 x^2-3 x+\frac{1}{2} & 3 x^2 & 0 & 0 \\
4 & x^4-2 x^3+x^2-\frac{1}{30} & 4 x^3-6 x^2+2 x & 4 x^3 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\
5 & x^5-\frac{5 x^4}{2}+\frac{5 x^3}{3}-\frac{x}{6} & 5 x^4-10 x^3+5 x^2-\frac{1}{6} & 5 x^4 & 0 & 0 \\
6 & x^6-3 x^5+\frac{5 x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{42} & 6 x^5-15 x^4+10 x^3-x & 6 x^5 & \frac{1}{42} & \frac{1}{42} \\
7 & x^7-\frac{7 x^6}{2}+\frac{7 x^5}{2}-\frac{7 x^3}{6}+\frac{x}{6} & 7 x^6-21 x^5+\frac{35 x^4}{2}-\frac{7 x^2}{2}+\frac{1}{6} & 7 x^6 & 0 & 0 \\
8 & x^8-4 x^7+\frac{14 x^6}{3}-\frac{7 x^4}{3}+\frac{2 x^2}{3}-\frac{1}{30} & 8 x^7-28 x^6+28 x^5-\frac{28 x^3}{3}+\frac{4 x}{3} & 8 x^7 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\
9 & x^9-\frac{9 x^8}{2}+6 x^7-\frac{21 x^5}{5}+2 x^3-\frac{3 x}{10} & 9 x^8-36 x^7+42 x^6-21 x^4+6 x^2-\frac{3}{10} & 9 x^8 & 0 & 0 \\

\end{array}

 

L-함수와의 관계[편집]

  • 디리클레 L-함수 <math>n\geq 1</math> 일 때, :<math>L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})</math>

   

역사[편집]

 


관련된 항목들[편집]


매스매티카 파일 및 계산 리소스[편집]

 

수학용어번역[편집]

  • modified - 대한수학회 수학용어집


 

사전 형태의 자료[편집]


관련논문[편집]