베르누이 다항식

수학노트
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개요

  • 베르누이 다항식 $B_n(x)$의 생성함수는 다음과 같이 정의

\[\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\]

  • 좀더 구체적으로는 다음과 같이 주어짐

\[B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}\] 여기서 \(B_k\) 는 베르누이 수


여러가지 성질

  • 베르누이 수 \(B_n(0)=B_n\)
  • 다음을 만족한다 (점화 관계)

\[\frac{d}{dx}B_k (x) = k B_{k-1} (x)\]

\[\left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\]

  • 곱셈공식

\[B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)\]


 

테이블

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} & B_n(x) & B_n'(x) & \Delta B_n(x)=B_n(x+1)-B_n(x) & B_n(0) & B_n(1) \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & x-\frac{1}{2} & 1 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 2 & x^2-x+\frac{1}{6} & 2 x-1 & 2 x & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ 3 & x^3-\frac{3 x^2}{2}+\frac{x}{2} & 3 x^2-3 x+\frac{1}{2} & 3 x^2 & 0 & 0 \\ 4 & x^4-2 x^3+x^2-\frac{1}{30} & 4 x^3-6 x^2+2 x & 4 x^3 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\ 5 & x^5-\frac{5 x^4}{2}+\frac{5 x^3}{3}-\frac{x}{6} & 5 x^4-10 x^3+5 x^2-\frac{1}{6} & 5 x^4 & 0 & 0 \\ 6 & x^6-3 x^5+\frac{5 x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{42} & 6 x^5-15 x^4+10 x^3-x & 6 x^5 & \frac{1}{42} & \frac{1}{42} \\ 7 & x^7-\frac{7 x^6}{2}+\frac{7 x^5}{2}-\frac{7 x^3}{6}+\frac{x}{6} & 7 x^6-21 x^5+\frac{35 x^4}{2}-\frac{7 x^2}{2}+\frac{1}{6} & 7 x^6 & 0 & 0 \\ 8 & x^8-4 x^7+\frac{14 x^6}{3}-\frac{7 x^4}{3}+\frac{2 x^2}{3}-\frac{1}{30} & 8 x^7-28 x^6+28 x^5-\frac{28 x^3}{3}+\frac{4 x}{3} & 8 x^7 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\ 9 & x^9-\frac{9 x^8}{2}+6 x^7-\frac{21 x^5}{5}+2 x^3-\frac{3 x}{10} & 9 x^8-36 x^7+42 x^6-21 x^4+6 x^2-\frac{3}{10} & 9 x^8 & 0 & 0 \\ \end{array}

 

L-함수와의 관계

  • 디리클레 L-함수 \(n\geq 1\) 일 때, \[L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})\]

   

역사

 


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

수학용어번역

  • modified - 대한수학회 수학용어집


 

사전 형태의 자료


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