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* 베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의
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* 좀더 구체적으로는 다음과 같이 주어짐
 
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:<math>B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}</math>
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<math>B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}</math>
 
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==베르누이수와 베르누이 다항식==
 
  
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* <math>B_n(0)=B_n</math><br>
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* 베르누이 수 <math>B_n(0)=B_n</math>
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* 다음을 만족한다 (점화 관계)
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:<math>\frac{d}{dx}B_k (x) = k B_{k-1} (x)</math>
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* 곱셈공식
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:<math>B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)</math>
  
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* 처음 몇 베르누이 다항식
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  & B_n(x) & B_n'(x) & \Delta B_n(x)=B_n(x+1)-B_n(x) & B_n(0) & B_n(1) \\
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\hline
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<math>B_0(x)=1</math>
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0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
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1 & x-\frac{1}{2} & 1 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
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<math>B_1(x)=x-1/2</math>
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2 & x^2-x+\frac{1}{6} & 2 x-1 & 2 x & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\
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3 & x^3-\frac{3 x^2}{2}+\frac{x}{2} & 3 x^2-3 x+\frac{1}{2} & 3 x^2 & 0 & 0 \\
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<math>B_2(x)=x^2-x+1/6</math>
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4 & x^4-2 x^3+x^2-\frac{1}{30} & 4 x^3-6 x^2+2 x & 4 x^3 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\
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5 & x^5-\frac{5 x^4}{2}+\frac{5 x^3}{3}-\frac{x}{6} & 5 x^4-10 x^3+5 x^2-\frac{1}{6} & 5 x^4 & 0 & 0 \\
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<math>B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x</math>
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6 & x^6-3 x^5+\frac{5 x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{42} & 6 x^5-15 x^4+10 x^3-x & 6 x^5 & \frac{1}{42} & \frac{1}{42} \\
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7 & x^7-\frac{7 x^6}{2}+\frac{7 x^5}{2}-\frac{7 x^3}{6}+\frac{x}{6} & 7 x^6-21 x^5+\frac{35 x^4}{2}-\frac{7 x^2}{2}+\frac{1}{6} & 7 x^6 & 0 & 0 \\
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<math>B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}</math>
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8 & x^8-4 x^7+\frac{14 x^6}{3}-\frac{7 x^4}{3}+\frac{2 x^2}{3}-\frac{1}{30} & 8 x^7-28 x^6+28 x^5-\frac{28 x^3}{3}+\frac{4 x}{3} & 8 x^7 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\
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9 & x^9-\frac{9 x^8}{2}+6 x^7-\frac{21 x^5}{5}+2 x^3-\frac{3 x}{10} & 9 x^8-36 x^7+42 x^6-21 x^4+6 x^2-\frac{3}{10} & 9 x^8 & 0 & 0 \\
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<math>B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x</math>
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베르누이 다항식 <math>B_k (x) </math> 는 다음과 같은 성질을 가진다. (점화 관계)
 
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==곱셈공식==
 
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<math>B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)</math>
 
  
 
 
 
 
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==관련된 다른 주제들==
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==관련된 항목들==
 
* [[베르누이 수]]
 
* [[베르누이 수]]
 
* [[원분체 (cyclotomic field)]]
 
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* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
 
* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
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==계산 리소스==
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2012년 12월 23일 (일) 10:26 판

개요

  • 베르누이 다항식 $B_n(x)$의 생성함수는 다음과 같이 정의

\[\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\]

  • 좀더 구체적으로는 다음과 같이 주어짐

\[B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}\] 여기서 \(B_k\) 는 베르누이 수


여러가지 성질

  • 베르누이 수 \(B_n(0)=B_n\)
  • 다음을 만족한다 (점화 관계)

\[\frac{d}{dx}B_k (x) = k B_{k-1} (x)\]

  • 곱셈공식

\[B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)\]


 

테이블

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} & B_n(x) & B_n'(x) & \Delta B_n(x)=B_n(x+1)-B_n(x) & B_n(0) & B_n(1) \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & x-\frac{1}{2} & 1 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 2 & x^2-x+\frac{1}{6} & 2 x-1 & 2 x & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ 3 & x^3-\frac{3 x^2}{2}+\frac{x}{2} & 3 x^2-3 x+\frac{1}{2} & 3 x^2 & 0 & 0 \\ 4 & x^4-2 x^3+x^2-\frac{1}{30} & 4 x^3-6 x^2+2 x & 4 x^3 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\ 5 & x^5-\frac{5 x^4}{2}+\frac{5 x^3}{3}-\frac{x}{6} & 5 x^4-10 x^3+5 x^2-\frac{1}{6} & 5 x^4 & 0 & 0 \\ 6 & x^6-3 x^5+\frac{5 x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{42} & 6 x^5-15 x^4+10 x^3-x & 6 x^5 & \frac{1}{42} & \frac{1}{42} \\ 7 & x^7-\frac{7 x^6}{2}+\frac{7 x^5}{2}-\frac{7 x^3}{6}+\frac{x}{6} & 7 x^6-21 x^5+\frac{35 x^4}{2}-\frac{7 x^2}{2}+\frac{1}{6} & 7 x^6 & 0 & 0 \\ 8 & x^8-4 x^7+\frac{14 x^6}{3}-\frac{7 x^4}{3}+\frac{2 x^2}{3}-\frac{1}{30} & 8 x^7-28 x^6+28 x^5-\frac{28 x^3}{3}+\frac{4 x}{3} & 8 x^7 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\ 9 & x^9-\frac{9 x^8}{2}+6 x^7-\frac{21 x^5}{5}+2 x^3-\frac{3 x}{10} & 9 x^8-36 x^7+42 x^6-21 x^4+6 x^2-\frac{3}{10} & 9 x^8 & 0 & 0 \\ \end{array}

 

L-함수와의 관계

  • 디리클레 L-함수 \(n\geq 1\) 일 때, \[L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})\]

   

역사

 


관련된 항목들


계산 리소스

 

수학용어번역

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 


 

 


 

 

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