"베르누이 다항식"의 두 판 사이의 차이
Pythagoras0 (토론 | 기여) (→계산 리소스) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| (같은 사용자의 중간 판 7개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
==개요== | ==개요== | ||
| − | * 베르누이 다항식 | + | * 베르누이 다항식 <math>B_n(x)</math>의 생성함수는 다음과 같이 정의 |
:<math>\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}</math> | :<math>\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}</math> | ||
* 좀더 구체적으로는 다음과 같이 주어짐 | * 좀더 구체적으로는 다음과 같이 주어짐 | ||
:<math>B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}</math> | :<math>B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}</math> | ||
| − | + | 여기서 <math>B_k</math> 는 [[베르누이 수]] | |
| 14번째 줄: | 14번째 줄: | ||
* 다음을 만족한다 (점화 관계) | * 다음을 만족한다 (점화 관계) | ||
:<math>\frac{d}{dx}B_k (x) = k B_{k-1} (x)</math> | :<math>\frac{d}{dx}B_k (x) = k B_{k-1} (x)</math> | ||
| + | * [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)]]에서 유용한 결과로 다음 등식이 성립한다 | ||
| + | :<math>\left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}</math> | ||
* 곱셈공식 | * 곱셈공식 | ||
:<math>B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)</math> | :<math>B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)</math> | ||
| − | + | ||
==테이블== | ==테이블== | ||
| 36번째 줄: | 38번째 줄: | ||
\end{array} | \end{array} | ||
| − | + | ||
==L-함수와의 관계== | ==L-함수와의 관계== | ||
| 42번째 줄: | 44번째 줄: | ||
* [[디리클레 L-함수]] <math>n\geq 1</math> 일 때, :<math>L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})</math> | * [[디리클레 L-함수]] <math>n\geq 1</math> 일 때, :<math>L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
==역사== | ==역사== | ||
| − | * [[ | + | * [[수학사 연표]] |
| − | + | ||
| 60번째 줄: | 62번째 줄: | ||
==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUmVreE9aekRfMEU/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUmVreE9aekRfMEU/edit | ||
| − | + | * [http://archive.org/details/jresv44n1p103 Table of Modified Bernoulli Polynomials] | |
| − | + | ||
==수학용어번역== | ==수학용어번역== | ||
| + | * {{학술용어집|url=modified}} | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | ==사전 | + | ==사전 형태의 자료== |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%A0%EB%A5%B4%EB%88%84%EC%9D%B4_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D http://ko.wikipedia.org/wiki/베르누이_다항식] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%A0%EB%A5%B4%EB%88%84%EC%9D%B4_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D http://ko.wikipedia.org/wiki/베르누이_다항식] | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials | * http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_theorem | * http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_theorem | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==관련논문== | ==관련논문== | ||
| + | * Qi, Feng. “Two Closed Forms for the Bernoulli Polynomials.” arXiv:1506.02137 [math], June 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.02137. | ||
| − | + | ==메타데이터== | |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q2346201 Q2346201] | |
| − | + | ===Spacy 패턴 목록=== | |
| − | + | * [{'LOWER': 'bernoulli'}, {'LEMMA': 'polynomial'}] | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | == | ||
| − | |||
| − | * | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:44 기준 최신판
개요
- 베르누이 다항식 \(B_n(x)\)의 생성함수는 다음과 같이 정의
\[\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\]
- 좀더 구체적으로는 다음과 같이 주어짐
\[B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}\] 여기서 \(B_k\) 는 베르누이 수
여러가지 성질
- 베르누이 수 \(B_n(0)=B_n\)
- 다음을 만족한다 (점화 관계)
\[\frac{d}{dx}B_k (x) = k B_{k-1} (x)\]
- 차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)에서 유용한 결과로 다음 등식이 성립한다
\[\left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\]
- 곱셈공식
\[B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)\]
테이블
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} & B_n(x) & B_n'(x) & \Delta B_n(x)=B_n(x+1)-B_n(x) & B_n(0) & B_n(1) \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & x-\frac{1}{2} & 1 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 2 & x^2-x+\frac{1}{6} & 2 x-1 & 2 x & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ 3 & x^3-\frac{3 x^2}{2}+\frac{x}{2} & 3 x^2-3 x+\frac{1}{2} & 3 x^2 & 0 & 0 \\ 4 & x^4-2 x^3+x^2-\frac{1}{30} & 4 x^3-6 x^2+2 x & 4 x^3 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\ 5 & x^5-\frac{5 x^4}{2}+\frac{5 x^3}{3}-\frac{x}{6} & 5 x^4-10 x^3+5 x^2-\frac{1}{6} & 5 x^4 & 0 & 0 \\ 6 & x^6-3 x^5+\frac{5 x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{42} & 6 x^5-15 x^4+10 x^3-x & 6 x^5 & \frac{1}{42} & \frac{1}{42} \\ 7 & x^7-\frac{7 x^6}{2}+\frac{7 x^5}{2}-\frac{7 x^3}{6}+\frac{x}{6} & 7 x^6-21 x^5+\frac{35 x^4}{2}-\frac{7 x^2}{2}+\frac{1}{6} & 7 x^6 & 0 & 0 \\ 8 & x^8-4 x^7+\frac{14 x^6}{3}-\frac{7 x^4}{3}+\frac{2 x^2}{3}-\frac{1}{30} & 8 x^7-28 x^6+28 x^5-\frac{28 x^3}{3}+\frac{4 x}{3} & 8 x^7 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\ 9 & x^9-\frac{9 x^8}{2}+6 x^7-\frac{21 x^5}{5}+2 x^3-\frac{3 x}{10} & 9 x^8-36 x^7+42 x^6-21 x^4+6 x^2-\frac{3}{10} & 9 x^8 & 0 & 0 \\ \end{array}
L-함수와의 관계
- 디리클레 L-함수 \(n\geq 1\) 일 때, \[L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})\]
역사
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUmVreE9aekRfMEU/edit
- Table of Modified Bernoulli Polynomials
수학용어번역
- modified - 대한수학회 수학용어집
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/베르누이_다항식
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials
- http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_theorem
관련논문
- Qi, Feng. “Two Closed Forms for the Bernoulli Polynomials.” arXiv:1506.02137 [math], June 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.02137.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q2346201
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'bernoulli'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]