베르누이 다항식

이 항목의 스프링노트 원문주소

\(\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\)

\(B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}\)

여기서 \(B_k\) 는 베르누이 수

\(B_0(x)=1\)

\(B_1(x)=x-1/2\)

\(B_2(x)=x^2-x+1/6\)

\(B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\\)

\(B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\)

\(B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\\)

\(B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}\)

베르누이 다항식 \(B_k (x) \) 는 다음과 같은 성질을 가진다. (점화 관계)

\(\frac{d }{dt}B_k (x) = B_{k-1} (x)\)

\(B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)\)

디리클레 L-함수
\(n\geq 1\) 일 때,
\(L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})\)