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− | * 다변수미적분학의 기본개념 중 하나 | + | * 다변수미적분학의 기본개념 중 하나 |
− | * 삼차원 유클리드 벡터공간에 정의된 이항연산 | + | * 삼차원 유클리드 벡터공간에 정의된 이항연산 |
− | * 두 벡터 <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}</math>의 외적 <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}</math>는 <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}</math>에 각각 수직이며, 크기가 <math>|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|\sin\theta</math>인 벡터가 된다 | + | * 두 벡터 <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}</math>의 외적 <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}</math>는 <math>\mathbf{a}, \mathbf{b}</math>에 각각 수직이며, 크기가 <math>|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|\sin\theta</math>인 벡터가 된다 |
− | * 벡터의 크기는 | + | * 벡터의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같게 됨 |
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==정의== | ==정의== | ||
− | * 단위벡터 <math>\mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1)</math | + | * 단위벡터 <math>\mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1)</math> |
− | * 두 벡터 <math>\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)</math>과 <math>\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨:<math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix}</math>:<math>=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)</math | + | * 두 벡터 <math>\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)</math>과 <math>\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨:<math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix}</math>:<math>=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)</math> |
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==성질== | ==성질== | ||
− | * 겹선형성 (bilinearity) | + | * 겹선형성 (bilinearity) |
− | * <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})</math | + | * <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})</math> |
* <math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0</math> | * <math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0</math> | ||
− | * 라그랑지 항등식 :<math>|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})^{2}=|\mathbf{a}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}</math | + | * 라그랑지 항등식 :<math>|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})^{2}=|\mathbf{a}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}</math> |
− | * 스칼라 삼중곱:<math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix}</math | + | * 스칼라 삼중곱:<math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix}</math> |
− | * 벡터 삼중곱 (라그랑지 공식):<math>\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}</math | + | * 벡터 삼중곱 (라그랑지 공식):<math>\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}</math> |
− | * 자코비 항등식:<math>\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})+\mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times \mathbf{a})+\mathbf{c}\times (\mathbf{a}\times \mathbf{b})=\mathbf{0}</math | + | * 자코비 항등식:<math>\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})+\mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times \mathbf{a})+\mathbf{c}\times (\mathbf{a}\times \mathbf{b})=\mathbf{0}</math> |
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==사원수와의 관계== | ==사원수와의 관계== | ||
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* 여기서 <math>\times</math> 는 3차원 [[벡터의 외적(cross product)|벡터의 외적]] | * 여기서 <math>\times</math> 는 3차원 [[벡터의 외적(cross product)|벡터의 외적]] | ||
− | * [[해밀턴의 사원수(quarternions)]] 항목 참조 | + | * [[해밀턴의 사원수(quarternions)]] 항목 참조 |
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==외적의 일반화== | ==외적의 일반화== | ||
− | * 다음과 같은 외적의 공리를 사용하여, 일반화하자. | + | * 다음과 같은 외적의 공리를 사용하여, 일반화하자. |
− | ** 겹선형성(bilinearity) | + | ** 겹선형성(bilinearity) |
** <math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0</math> | ** <math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0</math> | ||
− | ** 라그랑지 항등식 <math>|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})^{2}=|\mathbf{a}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}</math | + | ** 라그랑지 항등식 <math>|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})^{2}=|\mathbf{a}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}</math> |
(정리) 이 세 조건을 만족시키는 <math>\mathbb{R}^{n}</math> 위에 정의된 이항연산이 존재한다면, <math>n=1,3,7</math> 이 성립한다. | (정리) 이 세 조건을 만족시키는 <math>\mathbb{R}^{n}</math> 위에 정의된 이항연산이 존재한다면, <math>n=1,3,7</math> 이 성립한다. | ||
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'''[Massey1983]''', '''[Walsh1967]''' 참조 | '''[Massey1983]''', '''[Walsh1967]''' 참조 | ||
− | <math>\mathbb{R}^{n}</math> 위에 정의된 외적의 공리를 | + | <math>\mathbb{R}^{n}</math> 위에 정의된 외적의 공리를 만족시키는 이항연산 x 가 존재한다고 하자. |
<math>\mathbb{R}^{n+1}=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{n}=\{(a,\mathbf{x)}|a\in\mathbb{R},\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}\}</math> 위에 다음과 같은 이항연산을 정의할 수 있다. | <math>\mathbb{R}^{n+1}=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{n}=\{(a,\mathbf{x)}|a\in\mathbb{R},\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}\}</math> 위에 다음과 같은 이항연산을 정의할 수 있다. | ||
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그러므로 composition 대수에 대한 후르비츠의 정리([[1,2,4,8 과 1,3,7]] 항목 참조) 로부터 <math>n=1,3,7</math> 을 얻는다. ■ | 그러므로 composition 대수에 대한 후르비츠의 정리([[1,2,4,8 과 1,3,7]] 항목 참조) 로부터 <math>n=1,3,7</math> 을 얻는다. ■ | ||
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==Levi-Civita 텐서== | ==Levi-Civita 텐서== | ||
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<math>\varepsilon_{ijk} = \varepsilon^{ijk} =\begin{cases}+1 & \text{if } (i,j,k) \text{ is } (1,2,3), (3,1,2) \text{ or } (2,3,1), \\-1 & \text{if } (i,j,k) \text{ is } (1,3,2), (3,2,1) \text{ or } (2,1,3), \\\;\;\,0 & \text{if }i=j \text{ or } j=k \text{ or } k=i\end{cases} </math> | <math>\varepsilon_{ijk} = \varepsilon^{ijk} =\begin{cases}+1 & \text{if } (i,j,k) \text{ is } (1,2,3), (3,1,2) \text{ or } (2,3,1), \\-1 & \text{if } (i,j,k) \text{ is } (1,3,2), (3,2,1) \text{ or } (2,1,3), \\\;\;\,0 & \text{if }i=j \text{ or } j=k \text{ or } k=i\end{cases} </math> | ||
− | * 두 벡터 <math>\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)</math>과 <math>\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)</math>에 대하여 <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)</math>라 두면,:<math>c_i= \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k</math | + | * 두 벡터 <math>\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)</math>과 <math>\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)</math>에 대하여 <math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)</math>라 두면,:<math>c_i= \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k</math> |
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==리대수 구조== | ==리대수 구조== | ||
* <math>(\mathbb{R}^3,\times)</math> 는 리대수 구조를 갖는다 | * <math>(\mathbb{R}^3,\times)</math> 는 리대수 구조를 갖는다 | ||
− | * [[파울리 행렬]] 의 | + | * [[파울리 행렬]] 의 commutator <math>\left[\sigma _i,\sigma _j\right]=2i \epsilon _{i j k}\sigma _k</math> 를 이용하면, 다음을 얻는다:<math>\left[\frac{\sigma _i}{2i},\frac{\sigma _j}{2i}\right]=\epsilon _{i j k}\frac{\sigma _k}{2i}</math> |
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==메모== | ==메모== | ||
− | * http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=66085 | + | * http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=66085 |
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==역사== | ==역사== | ||
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=vector+cross+product[[수학사 연표]] | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=vector+cross+product[[수학사 연표]] | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
− | * [[벡터의 내적]] | + | * [[벡터의 내적]] |
− | * [[해밀턴의 사원수(quarternions)|해밀턴의 사원수]] | + | * [[해밀턴의 사원수(quarternions)|해밀턴의 사원수]] |
− | * [[파울리 행렬]] | + | * [[파울리 행렬]] |
− | * [[1,2,4,8 과 1,3,7]] | + | * [[1,2,4,8 과 1,3,7]] |
− | * [[평면의 방정식]] | + | * [[평면의 방정식]] |
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− | * | + | * 발음사전 http://www.forvo.com/search/hurwitz |
− | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집] | + | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집] |
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=bilinear | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=bilinear | ||
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVUJSanlSbHlZZmc/edit?pli=1 | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVUJSanlSbHlZZmc/edit?pli=1 | ||
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%99%B8%EC%A0%81 http://ko.wikipedia.org/wiki/외적] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%99%B8%EC%A0%81 http://ko.wikipedia.org/wiki/외적] | ||
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product/wiki/Cross_product] | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product/wiki/Cross_product] | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Seven-dimensional_cross_product | * http://en.wikipedia.org/wiki/Seven-dimensional_cross_product | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
− | * '''[Massey1983]'''[http://www.jstor.org/stable/2323537 Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces] | + | * '''[Massey1983]'''[http://www.jstor.org/stable/2323537 Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces] |
− | ** W. S. Massey, | + | ** W. S. Massey, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 90, No. 10 (Dec., 1983), pp. 697-701 |
− | * '''[Walsh1967]'''[http://www.jstor.org/stable/2315620 The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces] | + | * '''[Walsh1967]'''[http://www.jstor.org/stable/2315620 The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces] |
− | ** Bertram Walsh, | + | ** Bertram Walsh, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 74, No. 2 (Feb., 1967), pp. 188-194 |
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==관련도서== | ==관련도서== | ||
[[분류:미적분학]] | [[분류:미적분학]] |
2013년 6월 7일 (금) 05:09 판
개요
- 다변수미적분학의 기본개념 중 하나
- 삼차원 유클리드 벡터공간에 정의된 이항연산
- 두 벡터 \(\mathbf{a}, \mathbf{b}\)의 외적 \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\)는 \(\mathbf{a}, \mathbf{b}\)에 각각 수직이며, 크기가 \(|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|\sin\theta\)인 벡터가 된다
- 벡터의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같게 됨
정의
- 단위벡터 \(\mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1)\)
- 두 벡터 \(\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)\)과 \(\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)\)에 대하여 다음과 같이 정의됨\[\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix}\]\[=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\]
성질
- 겹선형성 (bilinearity)
- \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})\)
- \(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0\)
- 라그랑지 항등식 \[|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})^{2}=|\mathbf{a}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}\]
- 스칼라 삼중곱\[\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix}\]
- 벡터 삼중곱 (라그랑지 공식)\[\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}\]
- 자코비 항등식\[\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})+\mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times \mathbf{a})+\mathbf{c}\times (\mathbf{a}\times \mathbf{b})=\mathbf{0}\]
사원수와의 관계
- 사원수의 곱셈은 3차원 벡터의 내적, 외적과 다음과 같은 관계를 가진다.
- \(\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\) 라 두고, 사원수 \(a+x_1i+x_2j+x_3k\)를 \((a,\mathbf{x)}\)로 쓰자.
- \((a+x_1i+x_2j+x_3k)\cdot (b+y_1i+y_2j+y_3k)=(a,\mathbf{x)}\cdot(b,\mathbf{y)}=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})\)
- 여기서 \(\times\) 는 3차원 벡터의 외적
- 해밀턴의 사원수(quarternions) 항목 참조
외적의 일반화
- 다음과 같은 외적의 공리를 사용하여, 일반화하자.
- 겹선형성(bilinearity)
- \(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0\)
- 라그랑지 항등식 \(|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})^{2}=|\mathbf{a}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}\)
(정리) 이 세 조건을 만족시키는 \(\mathbb{R}^{n}\) 위에 정의된 이항연산이 존재한다면, \(n=1,3,7\) 이 성립한다.
(증명)
[Massey1983], [Walsh1967] 참조
\(\mathbb{R}^{n}\) 위에 정의된 외적의 공리를 만족시키는 이항연산 x 가 존재한다고 하자.
\(\mathbb{R}^{n+1}=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}^{n}=\{(a,\mathbf{x)}|a\in\mathbb{R},\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}\}\) 위에 다음과 같은 이항연산을 정의할 수 있다.
\((a,\mathbf{x)}(b,\mathbf{y)}:=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})\)
그러면 다음의 사실들을 확인할 수 있다.
겹선형성(bilinearity)
항등원의 존재 \((1,\mathbf{0)}(a,\mathbf{x)}=(a,\mathbf{x)}(1,\mathbf{0)}=(a,\mathbf{x)}\)
곱셈의 norm 보존 \(|(a,\mathbf{x)}(b,\mathbf{y)}|^2=|(a,\mathbf{x)}|^{2}|(b,\mathbf{y)}|^2\)
그러므로 composition 대수에 대한 후르비츠의 정리(1,2,4,8 과 1,3,7 항목 참조) 로부터 \(n=1,3,7\) 을 얻는다. ■
Levi-Civita 텐서
\(\varepsilon_{ijk} = \varepsilon^{ijk} =\begin{cases}+1 & \text{if } (i,j,k) \text{ is } (1,2,3), (3,1,2) \text{ or } (2,3,1), \\-1 & \text{if } (i,j,k) \text{ is } (1,3,2), (3,2,1) \text{ or } (2,1,3), \\\;\;\,0 & \text{if }i=j \text{ or } j=k \text{ or } k=i\end{cases} \)
- 두 벡터 \(\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)\)과 \(\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)\)에 대하여 \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)\)라 두면,\[c_i= \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k\]
리대수 구조
- \((\mathbb{R}^3,\times)\) 는 리대수 구조를 갖는다
- 파울리 행렬 의 commutator \(\left[\sigma _i,\sigma _j\right]=2i \epsilon _{i j k}\sigma _k\) 를 이용하면, 다음을 얻는다\[\left[\frac{\sigma _i}{2i},\frac{\sigma _j}{2i}\right]=\epsilon _{i j k}\frac{\sigma _k}{2i}\]
메모
역사
- Josiah Willard Gibbs published a treatise on vector algebra which included a definition of the vector dot product and vector cross product.
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=vector+cross+product수학사 연표
- 수학사 연표
관련된 항목들
수학용어번역
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/외적
- http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product
- http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product/wiki/Cross_product
- http://en.wikipedia.org/wiki/Seven-dimensional_cross_product
관련논문
- [Massey1983]Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces
- W. S. Massey, The American Mathematical Monthly, Vol. 90, No. 10 (Dec., 1983), pp. 697-701
- [Walsh1967]The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces
- Bertram Walsh, The American Mathematical Monthly, Vol. 74, No. 2 (Feb., 1967), pp. 188-194