벡터의 외적(cross product)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 9월 14일 (화) 19:46 판
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개요
  • 삼차원 유클리드 공간의 두 벡터 \(\mathbf{a}, \mathbf{b}\)에 정의된 이항연산
  • 두 벡터에 수직이며, 크기가 \(|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|\sin\theta\)인 벡터를 얻는다
  • 벡터의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같게 됨

 

 

정의
  • 단위벡터 \(\mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1)\) 를 정의
  • 두 벡터 \(\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)\)과 \(\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)\)
    \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix}\)

 

 

성질

 

 

 

 

내적과의 관계

\(|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|^{2}=|\mathbf{a}}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}\)

  • 벡터 삼중곱 (라그랑지 공식)
    \(\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\)
  • 스칼라 삼중곱
    \(\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\)

 

 

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