벡터의 외적(cross product)
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개요
- 삼차원 유클리드 공간의 두 벡터 \(\mathbf{a}, \mathbf{b}\)에 정의된 이항연산
- 두 벡터에 수직이며, 크기가 \(|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|\sin\theta\)인 벡터
- 벡터의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같게 됨
정의
- 단위벡터 \(\mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1)\)
- 두 벡터 \(\mathbf a = (a_1, a_2, a_3)\)과 \(\mathbf b = (b_1, b_2, b_3)\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
\(\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix}\)
성질
- \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})\)
- 라그랑지 항등식
\(|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^{2}+|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|^{2}=|\mathbf{a}}|^{2}|\mathbf{b}|^{2}\)
- 벡터 삼중곱 (라그랑지 공식)
\(\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}\) - 스칼라 삼중곱
\(\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix}\)
재미있는 사실
역사
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/외적
- http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product
- [1]http://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product/wiki/Cross_product
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
관련논문
- The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces
- Bertram Walsh, The American Mathematical Monthly, Vol. 74, No. 2 (Feb., 1967), pp. 188-194
- Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces
- W. S. Massey, The American Mathematical Monthly, Vol. 90, No. 10 (Dec., 1983), pp. 697-701
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