복소 이차 수체의 데데킨트 제타함수 special values

수학노트
둘러보기로 이동 검색으로 이동

개요


<math>s=1</math> 에서의 값


<math>q \equiv 3 \pmod{4}</math>

  • <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})</math>, <math>q \geq 7</math> , <math>q \equiv 3 \pmod{4}</math> 인 경우
  • <math>d_K=-q</math>
  • <math>\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)</math>
  • <math>\chi(-1)=-1</math>, <math>\tau(\chi)=i\sqrt{q}</math>
  • 다음이 성립한다
<math>L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a=\frac{\pi h_K}{\sqrt{q}}</math>
<math>h_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}</math>

<math>q \equiv 1 \pmod{4}</math>

  • <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})</math> , <math>q \geq 5</math> , <math>q \equiv 1 \pmod{4}</math> 인 경우
  • <math>d_K=-4q</math>, <math>\chi(-1)=-1</math>, <math>\tau(\chi)=2i\sqrt{q}</math>
  • 다음이 성립한다
<math>L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}\sum_{(a,4q)=1}\chi(a) a=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{q}}</math>
<math>h_K=-\frac{1}{4}\sum_{(a,4q)=1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}</math>



<math>s=2</math> 에서의 값

  • 복소이차수체 <math>K</math>에 대하여 다음이 성립한다
<math>\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})</math>
  • 예를 들어, <math>K=\mathbb{Q}\sqrt{-7}</math>에 대하여, 다음이 성립한다
<math>\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))</math> 여기서 <math>D(z)</math>는 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)
  • 예
<math>\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-1}}(2)=1.50670301</math>
<math>\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-2}}(2)=1.75141751\cdots</math>
<math>\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-3}}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{3}}(D(e^{2\pi i/3})-D(e^{4\pi i/3}))=\frac{\pi^2}{3\sqrt{3}}D(e^{2\pi i/3})=1.285190955484149\cdots</math>
<math>\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))=1.89484145</math>
<math>\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-11}}(2)=1.49613186</math>



figure eight knot complement

  • <math>V=\frac{9\sqrt{3}}{\pi^2}\zeta_{\mathbb{Q}(\sqrt{-3})}(2)=3D(e^{\frac{2i\pi}{3}})=2D(e^{\frac{i\pi}{3}})=2.029883212819\cdots</math>
  • <math>\zeta_{\mathbb{Q}(\sqrt{-3})}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{3}}D(e^{\frac{2\pi i}{3}})</math>
  • <math>L_{-3}(2)=\frac{2}{\sqrt{3}}D(e^{\frac{2\pi i}{3}})</math>
  • 2.02988321281930725
<math>V(4_{1})=\frac{9\sqrt{3}}{\pi^2}\zeta_{\mathbb{Q}(\sqrt{-3})}(2)=3D(e^{\frac{2i\pi}{3}})=2D(e^{\frac{i\pi}{3}})=2.029883212819\cdots</math>




메모

  • <math>s=1</math> 에서의 <math>L_{d_K}'(1)</math>의 값:<math>L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})</math>
  • L-함수의 미분 항목 참조



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=복소_이차_수체의_데데킨트_제타함수_special_values&oldid=39953"