부분적분

수학노트
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개요

  • 두 미분가능한 함수 $f,g$에 대하여 다음이 성립한다

$$ \int f(t)g'(t)\, dt = f(t) g(t)-\int f'(t) g(t)\, dt $$

  • 이는 곱의 미분에 대한 라이프니츠 법칙으로부터 얻을 수 있다

$$ (fg)'=f'g+fg' $$


  • 로그함수의 적분

$$ \int \ln t \,dt=\int \ln t (t)'\,dt=t \ln t -\int \frac{1}{t}t\,dt=t \ln t -t +C $$


부분적분의 반복적용

  • 함수 $f,g$에 대하여, 다음과 같은 기호를 사용하자
  • $f^{(0)}(t):=f(t),\quad g^{(0)}(t):=g(t)$
  • $f^{(n)}(t):=\left(f^{(n-1)}(t)\right)',\quad n\geq 1$
  • $g^{(-n-1)}(t):=\int g^{(-n)}(t)\,dt, \quad n\geq 1$
  • 부분적분은 다음과 같이 표현된다

$$ \int f^{(m)}(t)g^{(n)}(t)\, dt = f^{(m)}(t)g^{(n-1)}(t)-\int f^{(m+1)}(t) g^{(n-1)}(t)\, dt $$

  • 구체적으로 쓰면 다음과 같다

$$ \int f^{(0)}(t)g^{(1)}(t)\, dt = f^{(0)}(t)g^{(0)}(t)-\int f^{(1)}(t) g^{(0)}(t)\, dt $$ $$ \int f^{(1)}(t)g^{(0)}(t)\, dt = f^{(1)}(t)g^{(-1)}(t)-\int f^{(2)}(t) g^{(-1)}(t)\, dt $$ $$ \int f^{(2)}(t)g^{(-1)}(t)\, dt = f^{(2)}(t)g^{(-2)}(t)-\int f^{(3)}(t) g^{(-2)}(t)\, dt $$

  • 따라서 부분적분을 반복하면 다음과 같은 결과를 얻는다

$$ \int f^{(0)}(t)g^{(1)}(t)\, dt= f^{(0)}(t)g^{(0)}(t) - f^{(1)}(t)g^{(-1)}(t)+ f^{(2)}(t)g^{(-2)}(t)+\cdots +(-1)^kf^{(k)}(t)g^{(-k)}(t)+(-1)^{k+1}\int f^{(k+1)}(t)g^{(-k)}(t) $$

  • $f$가 반복해서 미분을 하기 쉽고(특히, 언젠가 0이 되는 경우), $g$가 반복해서 적분을 하기가 쉬운 경우에 이를 적용할 수 있다

예1

  • $\int x^2 \sin x\,dx$ 의 계산
  • $f(x)=x^2$, $g'(x)=\sin x$로 두자

\begin{array}{ccc} n & f^{(n)}(x) & g^{(-n)}(x) \\ \hline 0 & x^2 & -\cos (x) \\ 1 & 2 x & -\sin (x) \\ 2 & 2 & \cos (x) \\ 3 & 0 & \sin (x) \end{array}

  • 따라서

$$ \int x^2 \sin x\,dx=-x^2 \cos (x)+2 x \sin (x)+2 \cos (x)+C $$

예2

  • $\int e^{2x} \sin x\,dx$ 의 계산
  • $f(x)=e^x$, $g'(x)=\sin x$로 두자

\begin{array}{ccc} n & f^{(n)}(x) & g^{(-n)}(x) \\ \hline 0 & e^{2 x} & -\cos (x) \\ 1 & 2 e^{2 x} & -\sin (x) \\ 2 & 4 e^{2 x} & \cos (x) \\ \end{array}

  • 따라서

$$ \int e^{2x} \sin x\,dx=\left(-e^{2 x} \cos (x)\right)-\left(-2 e^{2 x} \sin (x)\right)+\left(\int 4 e^{2x}(-\sin x)\,dx\right) $$

  • 이로부터 다음을 얻을 수 있다

$$ \int e^{2x} \sin x\,dx= \frac{2}{5} e^{2 x} \sin (x)-\frac{1}{5} e^{2 x} \cos (x)+C $$

예3

  • $\int x^2 \ln x\,dx$ 의 계산
  • $f(x)=\ln x$, $g'(x)=x^2$로 두자

\begin{array}{ccc} n & f^{(n)}(x) & g^{(-n)}(x) \\ \hline 0 & \log (x) & \frac{x^3}{3} \\ 1 & \frac{1}{x} & \frac{x^4}{12} \end{array}

  • 따라서

$$ \int x^2 \ln x\,dx=\frac{1}{3} x^3 \log x-\int \frac{1}{x}\frac{x^3}{3}\,dx=\frac{1}{3} x^3 \log (x)-\frac{x^3}{9}+C $$


예4

  • 자코비 다항식의 직교성을 증명하는 과정에는 다음과 같은 등식이 등장
  • $n \in \mathbb{Z}_{\geq 0},\, k=0,1,\cdots,n$
  • $w(x)=(1-x)^{\alpha+n} (1+x)^{\beta+n}$

$$ \int_{-1}^1x^k\frac{d^n w}{dx^n}\,dx=(-1)^n n! \delta_{nk}\int_{-1}^1w(x)\,dx $$

매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Horowitz, David. “Tabular Integration by Parts.” The College Mathematics Journal 21, no. 4 (September 1, 1990): 307–11. doi:10.2307/2686368.
  • Murty, V. N. “Integration by Parts.” The Two-Year College Mathematics Journal 11, no. 2 (March 1, 1980): 90–94. doi:10.2307/3026660.