부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)

수학노트
둘러보기로 이동 검색으로 이동

개요

리우빌의 정리

(정리 ) 리우빌, 1835

(a) <math>F</math>가 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 대수적함수이고, <math>y_1,\cdots,y_m</math> 는 <math>x</math>의 함수로서 <math>\frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx}</math> 가 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 대수적함수로 표현된다면, 다음 두 명제는 동치이다.

(i) <math>\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx</math> 는 초등함수이다.

(ii) <math>\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)</math> 여기서 <math>C_j</math>는 상수이고, <math>U_j</math>는 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 대수적함수

(b) <math>F</math>가 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 유리함수이고, <math>y_1,\cdots,y_m</math> 는 <math>x</math>의 함수로서 <math>\frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx}</math> 가 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 유리함수로 표현된다면, 다음 두 명제는 동치이다.

(i) <math>\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx</math> 는 초등함수이다.

(ii) <math>\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)</math> 여기서 <math>C_j</math>는 상수이고, <math>U_j</math>는 <math>x,y_1,\cdots,y_m</math>의 유리함수



리우빌 정리의 특수한 경우

(정리 ) 리우빌, 1835

<math>f(x), g(x)</math> 는 유리함수이면, (단, <math>g(x)</math> 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.

(i)<math>\int f(x)e^{g(x)} \,dx</math> 는 초등함수이다.

(ii) 유리함수 <math>R(x)</math>가 존재하여 <math>f(x)=R'(x)+R(x)g'(x)</math> 를 만족시킨다.


(증명)은 [Ritt48]

  • 노트
    • <math>F(x,y_1)=xy_1</math>, <math>y_1=e^{g(x)}</math> 로 두면 리우빌 정리(b)의 조건을 만족시킴:<math>y_1'=g'(x)e^{g(x)}=g'(x)y_1</math> 는 <math>x,y_1</math> 의 유리함수


(따름정리)

정수 n에 대하여 <math>\int x^{2n}e^{ax^2} dx</math> (<math>a\neq 0</math>)는 초등함수가 아니다.

자연수 n에 대하여 <math>\int x^{-n}e^{cx} dx</math> (<math>c\neq 0</math>)는 초등함수가 아니다.

예

<math>\int \frac{e^{ax}}{\sqrt{x}} dx=\int 2e^{at^2}dt</math>, <math>t^2=x</math>

<math>\int e^{e^{x}} dx=\int \frac{e^t}{t}dt</math>, <math>t=e^x</math>

<math>\int \frac{1}{\ln x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt</math>, <math>t=\ln x</math>

<math>\int \ln(\ln x)dx = x\ln (\ln x) -\int \frac{1}{\ln x} dx</math>

<math>\int \frac{\sin x}{x} dx = \mbox{Im}(\int \frac{e^{ix}}{x}dx)</math>

  • [MAR94] 참고



체비셰프의 정리

(정리)

유리수 <math>p,q,r\neq0</math>와 실수 <math>a,b</math>에 대하여, 다음 둘은 동치이다.


(i)<math>\int x^p(a+bx)^q \,dx</math> 는 초등함수이다.

(ii) <math>\frac{(p+1)}{r},q,\frac{(p+1)}{r}+q</math> 중에 적어도 하나는 정수이다.



예

<math>\int \sqrt[3]{1+x^2}dx</math> 는 초등함수가 아니다. <math>f(x)=x^k</math> 의 그래프의 길이함수 <math>\int \sqrt{1+k^2x^{2k-2}}\,dx</math> 는 <math>k=1</math> 또는 <math>k=1+\frac{1}{n}</math> 일 때만 초등함수이다.

정수 <math>m,n</math>에 대하여, <math>\int (1-x^n)^{1/m}</math> 는 초등함수이다. <math>\iff</math> <math>m=\pm 1</math> 또는 <math>n=\pm 1</math> 또는 <math>m=n=2</math> 또는 <math>m=-n</math>

<math>\int (\sin x)^m(\cos x)^n \,dx</math> 는 모든 정수 <math>m,n</math>에 대하여 초등함수이다.

  • 참고 [MAR94]

역사



수학사 연표

관련된 항목들



관련도서\

  • [Ritt48]Integration in finite terms: Liouville's theory of elementary methods
    • Joseph Fels Ritt,Columbia University Press, 1948



위키링크



관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'differential'}, {'LOWER': 'galois'}, {'LEMMA': 'theory'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=부정적분의_초등함수_표현(Integration_in_finite_terms)&oldid=52315"