분할수의 생성함수(오일러 함수)
개요
- 분할수의 생성함수를 오일러함수라고도 하며 다음과 같이 정의한다
\[F(q):=\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n\] 여기서 \(p(n)\) 은 \(n\)의 분할수
- 다음과 같이 무한곱으로 표현가능하다
\[F(q) = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \]
- 급수 전개
\[F(q)= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots\]
오일러의 오각수정리
\[\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2} \label{penta}\]
- 급수로 표현하면 다음과 같다 \[(1-q)(1-q^2)(1-q^3) \cdots = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots\]
- \ref{penta}는 오일러함수의 역수이며 (거의) 데데킨트 에타함수 이다
q가 1에 가까울 때의 근사공식
(정리) \(q\to 1\) 일 때, \[F(q) \sim \exp(\frac{\pi^2}{6(1-q)})\] (Hardy's book 'Ramanujan' on partition asymptotics)
(증명) 로그를 취하면 다음을 얻는다 \[\log F(q)= \sum_{n=1}^\infty \log \frac {1}{1-q^n} =\sum_{m=1,n=1}^{\infty}\frac{q^{mn}}{m}=\sum_{m=1}\frac{q^m}{m(1-q^m)}\] \(1-q^m=(1-q)(1+q+\cdots+q^{m-1})\) 와 \(0<q<1\) 을 이용하면, \(mq^{m-1}(1-x)<1-q^m<m(1-q)\) 이다. 따라서, \[\frac{1}{1-q}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q^m}{m^2}< \sum_{n=1}^\infty \log \frac {1}{1-q^n} <\frac{1}{1-q}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q}{m^2}\]
q가 1에 가까워질 때, \[\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q^m}{m^2}\to \frac{\pi^2}{6},\] \[\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q}{m^2}\to \frac{\pi^2}{6}\]
이므로, \[F(q)\sim \exp(\frac{\pi^2}{6(1-q)})\] ■
- \(q=e^{-\epsilon}\) 으로 두면 \(\epsilon\sim 0\) 일 때, 모든 \(N\)에 대하여 다음이 성립한다
\[\log F(q) \sim \frac{\pi^2}{6\epsilon}-\frac{1}{2}\log(\frac{2\pi}{\epsilon})-\frac{\epsilon}{24}+O(\epsilon^N)\] 이는 데데킨트 에타함수의 모듈라 성질로부터 얻을 수 있다
- \(\pi^2/6\) 은 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)에 등장하는 수이다
분할수의 근사공식
\[p(n) \sim \frac{1}{\pi\sqrt{2}}\frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}=\frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\]
q-초기하급수 형태로의 표현
(정리) \[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n}= \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} =1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\]
(증명)
오일러의 무한곱공식을 적용. \[\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\] ■
(정리) (Durfee square identity) \[ F(q)= 1+\sum_{n=1}\frac{q^{n^2}}{(1-q)^2(1-q^2)^2\cdots(1-q^n)^2} \]
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