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* [[수열]]<math>\{a_n\}</math>에 대한 생성함수(generating function)는 <math>g(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots</math> 로 주어짐
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* [[수열]]<math>\{a_n\}</math>에 대한 생성함수(generating function)는 <math>f(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots</math> 로 주어짐
 
* 수열이라는 이산적인 대상을, 미적분학이라는 연속적인 개념을 이용하는 도구를 통해 다룰수 있게 해줌.
 
* 수열이라는 이산적인 대상을, 미적분학이라는 연속적인 개념을 이용하는 도구를 통해 다룰수 있게 해줌.
 
* [[search?q=%ED%95%B4%EC%84%9D%EC%A0%81%EC%A0%95%EC%88%98%EB%A1%A0&parent id=1987712|해석적정수론]]의 중요한 아이디어
 
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'''1. 수열 <math>\{a_r\}</math>이 주어져 있다.'''(유한수열일 수도 있고, 무한수열 일수도 있다)<br>'''<br> 2. 수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다.''' (유한수열이면 다항식)
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'''1. 수열'''<math>\{a_n\}</math>'''이 주어져 있다.''''''<br> 2. 수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다.''' (유한수열이면 다항식)
  
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'''3. 함수를 구한다.'''
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<math>f(x)=\sum_{r=0}^{\infty} a_r x^r</math>
 
  
 
 
 
 
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<math>f(x)= {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n</math>
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<h5>분할수의 생성함수</h5>
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* [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]]의 경우<br><math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} </math><br>
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* 분할수를 [[데데킨트 에타함수]]의 성질을 통하여 이해할 수 있게 된다
  
 
 
 
 
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'''3. 함수를 구한다.'''
 
  
 
 
 
 
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* [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]]
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* [[피보나치 수열의 여러가지 성질]]
  
 
 
 
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
  
 
 
 
 
  
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
  
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* [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]]
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* [[피보나치 수열의 여러가지 성질]]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
  
 
 
 
 

2009년 12월 7일 (월) 12:25 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 수열\(\{a_n\}\)에 대한 생성함수(generating function)는 \(f(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots\) 로 주어짐
  • 수열이라는 이산적인 대상을, 미적분학이라는 연속적인 개념을 이용하는 도구를 통해 다룰수 있게 해줌.
  • 해석적정수론의 중요한 아이디어
  • 생성함수의 수렴성에 대해서는
  • (무한)수열을 함수 하나 안에 쑤셔 넣은(!) 것. 수열을 다루기가 굉장히 편해진다.

 

 

사용법

'1. 수열\(\{a_n\}\)이 주어져 있다.'
2. 수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열이면 다항식)

3. 함수를 구한다.

 

 

분할수의 생성함수
  • 분할수의 경우
    \(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \)
  • 분할수를 데데킨트 에타함수의 성질을 통하여 이해할 수 있게 된다

 

 

 

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