스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

수학노트
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개요

  • 주어진 양의 정부호 이차형식 $q$에 대하여 방정식 $q(x)=n$의 해의 개수 $r(q,n)$를 구하는 것은 정수론의 오래된 문제
  • 지겔의 질량 공식은 $q$와 같은 genus에 속하는 이차형식 $q'$들에 대한 $r(q',n)$값의 가중치평균(weighted average)을 모든 소수에 대한 local densities의 곱으로 표현함
  • local densities : measure the number of congruence solutions of the equation modulo high powers of the respective prime.


스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

  • $n\geq 2$ 자연수
  • $f$ : 양의 정부호인 $n$ 차원 정수계수 이차형식
  • ${\rm gen}(f)$ : $f$와 같은 genus에 속하는 이차형식의 동치류
  • $\rm{Aut}(\cdot)$ : 자기동형군
  • $f$의 질량 $m(f)$를 다음과 같이 정의

$$ m(f):=\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|} $$

정리 (스미스-민코프스키-지겔)

다음이 성립한다 \[m(f) = 2\pi^{-n(n+1)/4}\prod_{j=1}^n\Gamma(j/2)\prod_{p\text{ prime}}2m_p(f)\] 여기서 충분히 큰 $r$에 대하여, \[m_p(f) = {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}\over N(p^r)}\]

  • $p^s$는 $f$의 판별식을 나누는 p의 가장 큰 거듭제곱,
  • $N(p^r)$은 다음을 만족하는 $\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z}$위의 $n\times n$ 행렬의 개수

$$X^tAX \equiv A\ \bmod\ p^r$$


  • n차원 even unimodular 격자의 경우의 질량 공식은 다음과 같이 표현된다

\[\sum_{\Lambda}{1\over|\operatorname{Aut}(\Lambda)|} = {|B_{n/2}|\over n}\prod_{1\le j< n/2}{|B_{2j}|\over 4j}\tag{1} \]

여기서 $B_k$는 베르누이 수

8차원

  • 8차원 even unimodular 격자는 E8격자 뿐이이며 질량 공식 (1)의 우변은 다음과 같다

$$ \frac{1}{696729600} $$

  • 696729600은 E8격자의 자기동형군의 크기이며, 바일군 $W(E_8)$의 크기이기도 하다

16차원

  • 16차원에서 (1)의 좌변과 우변은 다음과 같다

$$ \frac{1}{2\cdot 696729600^2}+\frac{1}{2^{15}16!}=\frac{691}{277667181515243520000} $$

24차원

  • (1)의 값은 다음과 같다

$$ \frac{1027637932586061520960267}{129477933340026851560636148613120000000} $$


지겔-베유 공식

  • 지겔-베유 공식은 지겔의 결과(1951, 1952)에 대한 베유의 확장(1964, 1965)
  • 같은 genus에 속하는 격자의 세타함수에 대한 가중치평균을 아이젠슈타인 급수로 표현함
  • rank가 $n$인 격자 $L$과 정수 $g\leq n$를 고정
  • 지겔 세타 급수는 지겔 상반 공간 $\mathbb{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}$ 정의된 함수로

$$\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr} ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.$$

정리

$$\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M^{(g)}(Z)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\, \left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}= E^{(g)}(Z),$$ 여기서 $E^{(g)}(Z)$는 $\Gamma$에 대한 아이젠슈타인 급수이며 $L$의 genus에만 의존


메모

  • Mackey - Unitary Group Representation in Physics, Probability and Number Theory, page 326


수학용어번역

  • Maßformel - measure formula
  • mass formula는 잘못된 번역이므로, 질량 공식도 역시 잘못된 번역


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관련논문

  • Cho, Sungmun. “Group Schemes and Local Densities of Ramified Hermitian Lattices in Residue Characteristic 2 Part I.” arXiv:1210.7894 [math], October 29, 2012. http://arxiv.org/abs/1210.7894.
  • Cho, Sungmun. ‘Group Schemes and Local Densities of Quadratic Lattices in Residue Characteristic 2’. Compositio Mathematica, 5 December 2014, 1–35. doi:10.1112/S0010437X14007829.
  • Eskin, Alex, Zeév Rudnick, and Peter Sarnak. "A proof of Siegel's weight formula." International Mathematics Research Notices 1991.5 (1991): 65-69. http://www.math.tau.ac.il/~rudnick/papers/siegelmass.pdf
  • Conway, J. H., and N. J. A. Sloane. “Low-Dimensional Lattices. IV. The Mass Formula.” Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences 419, no. 1857 (October 8, 1988): 259–86. doi:10.1098/rspa.1988.0107.
  • Siegel, Carl Ludwig. “Uber Die Analytische Theorie Der Quadratischen Formen.” The Annals of Mathematics 36, no. 3 (July 1935): 527. doi:10.2307/1968644.
  • Minkowski, Hermann. 1882. Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten
  • Smith, HJ Stephen. "On the orders and genera of quadratic forms containing more than three indeterminates." Proceedings of the Royal Society of London 16 (1867): 197-208.