스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

개요

주어진 양의 정부호 이차형식 \(q\)에 대하여 방정식 \(q(x)=n\)의 해의 개수 \(r(q,n)\)를 구하는 것은 정수론의 오래된 문제
지겔의 질량 공식은 \(q\)와 같은 genus에 속하는 이차형식 \(q'\)들에 대한 \(r(q',n)\)값의 가중치평균(weighted average)을 모든 소수에 대한 local densities의 곱으로 표현함
local densities : measure the number of congruence solutions of the equation modulo high powers of the respective prime.

스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

\(n\geq 2\) 자연수
\(f\) : 양의 정부호인 \(n\) 차원 정수계수 이차형식
\({\rm gen}(f)\) \[f\]와 같은 genus에 속하는 이차형식의 동치류
\(\rm{Aut}(\cdot)\) : 자기동형군
\(f\)의 질량 \(m(f)\)를 다음과 같이 정의

\[ m(f):=\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|} \]

정리 (스미스-민코프스키-지겔)

다음이 성립한다 \[m(f) = 2\pi^{-n(n+1)/4}\prod_{j=1}^n\Gamma(j/2)\prod_{p\text{ prime}}2m_p(f)\] 여기서 충분히 큰 \(r\)에 대하여, \[m_p(f) = {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}\over N(p^r)}\]

\(p^s\)는 \(f\)의 판별식을 나누는 p의 가장 큰 거듭제곱,
\(N(p^r)\)은 다음을 만족하는 \(\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z}\)위의 \(n\times n\) 행렬의 개수

\[X^tAX \equiv A\ \bmod\ p^r\]

예

n차원 even unimodular 격자의 경우의 질량 공식은 다음과 같이 표현된다

\[\sum_{\Lambda}{1\over|\operatorname{Aut}(\Lambda)|} = {|B_{n/2}|\over n}\prod_{1\le j< n/2}{|B_{2j}|\over 4j}\label{evenu} \]

여기서 \(B_k\)는 베르누이 수

8차원

8차원 even unimodular 격자는 E8격자 뿐이이며 질량 공식 \ref{evenu}의 우변은 다음과 같다

\[ \frac{1}{696729600} \]

696729600은 E8격자의 자기동형군의 크기이며, 바일군 \(W(E_8)\)의 크기이기도 하다

16차원

16차원에서 \ref{evenu}의 좌변과 우변은 다음과 같다

\[ \frac{1}{2\cdot 696729600^2}+\frac{1}{2^{15}16!}=\frac{691}{277667181515243520000} \]

24차원

\ref{evenu}의 값은 다음과 같다

\[ \frac{1027637932586061520960267}{129477933340026851560636148613120000000} \]

지겔-베유 공식

지겔-베유 공식은 지겔의 결과(1951, 1952)에 대한 베유의 확장(1964, 1965)
같은 genus에 속하는 격자의 세타함수에 대한 가중치평균을 아이젠슈타인 급수로 표현함
rank가 \(n\)인 격자 \(L\)과 정수 \(g\leq n\)를 고정
지겔 세타 급수는 지겔 상반 공간 \(\mathbb{H}_g=\{Z\in {\rm Mat}(g,\C)\mid Z=Z^t,\ {\rm Im}(Z)>0\}\) 정의된 함수로

\[\Theta^{(g)}_L(Z)=\sum_{v_1,\,\ldots,\,v_g\in L}e^{2\pi i\,{\rm tr} ((v_1,\ldots,v_g)(v_1,\ldots,v_g)^tZ) }.\]

\({\rm Sp}(g,\Z)\)의 합동부분군 \(\Gamma\)에 대해 weight이 \(n/2\)인 지겔 모듈라 형식

정리

\[\left( \sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{\Theta_M^{(g)}(Z)}{|{\rm Aut}(M)|}\right)\,\cdot\, \left(\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|}\right)^{-1}= E^{(g)}(Z),\] 여기서 \(E^{(g)}(Z)\)는 \(\Gamma\)에 대한 아이젠슈타인 급수이며 \(L\)의 genus에만 의존

지겔-베유 공식 항목 참조

메모

Mackey - Unitary Group Representation in Physics, Probability and Number Theory, page 326

수학용어번역

Maßformel - measure formula
mass formula는 잘못된 번역이므로, 질량 공식도 역시 잘못된 번역

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Integral quadratic forms and volume formulas, UBC graduate seminar, winter 2011
Jonathan Hanke, Quadratic Forms and Automorphic Forms
Shimura, Goro. 2006. “Quadratic Diophantine Equations, the Class Number, and the Mass Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 43 (3): 285–304. doi:10.1090/S0273-0979-06-01107-4.
Haris, S. J. 1980. “Number Theoretical Developments Arising from the Siegel Formula.” Bulletin of the American Mathematical Society 2 (3): 417–33. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14754-0.
Siegel's integral
Kimball Martin, lecture notes for number theory
- chapter 7. Quadratic Forms
Finch, Minkowski-Siegel Mass Constants

메타데이터

위키데이터

ID : Q217465

Spacy 패턴 목록

[{'LEMMA': 'Smith'}]

스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

목차

개요